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CROMATISMO DEL QUIPU
"Por lo que toca al cromatismo de los quipus contables, corta es la lista de colores que nos han proporcionado los cronistas. Ellos señalan, en primer lugar, el empleo del color natural (marrón en sus tonalidades, clara y oscura) que es propio del material (lana o algodón) empleado en la confección del Quipu: mencionan luego, los colores obtenidos del teñido, como blanco, rojo, morado, pardo, amarillento pajizo, verde, carmesí. Como combinación cromática hablan de la mezcla de tres colores en la misma cuerda de tres torzales: azul, amarillo, blanco".
"En el señalamiento de los colores y de sus mezclas, la información arqueológica ha sido mucho más generosa que la de los cronistas. A base de las pocas decenas de quipus estudiados se ha podido precisar los siguientes colores básicos: el marrón que aparece con cuatro tonos, claro y más claro (casi un blanco amarillento), oscuro y más oscuro (casi un negro pálido); el blanco con dos tonalidades, la muy clara, casi el color de la leche y las más opaca un blanco sucio quizá el color natural; el color natural; el azul en tonos claro y oscuro bien definidos; el verde pálido o bien muy intenso; el rojo en dos tonalidades, fuerte y tenue; el amarillo brillante como el oro o algo desteñido; el negro que cuando es algo pálido se confunde con el marrón más oscuro."
Las mezclas de colores son muchas, habiéndose registrado más de veinte: el Quipu N° 7 de Nordenskiól, por ejemplo, exhibe 17 expresiones cromáticas, de las cuales 8 son colores únicos y 9 de combinados. La tendencia de la mezcla se efectúa primeramente entre las mismas tonalidades de los colores, en especial del marrón; luego entre dos o más colores diferentes, preferentemente el blanco que se une al negro, el azul, el verde y sobre todo el marrón; éste a su vez, además de juntarse con el blanco, lo hace también aunque menos frecuentemente con el azul, el negro, el rojo y este último en cambio sólo se mezcla con el marrón como acabamos de decir y con el marrón.
La mezcla de colores se cumple mediante un sistema combinatorio
consistente en tres modalidades bien definidas, que se aplicación mucha uniformidad y escrupulosidad. Ellas son la mezcla por jaspeado torzal más torzal y por posición.
CÓMO HACER UN QUIPU?
Aunque hasta ahora, sólo hemos visto las fotografías de los quipus y, de una manera rápida, sus clases temporalmente hablando, consideramos que es muy importante, sin embargo, conocer cómo se podían hacer estas llamadas fichas mnemotécnicas. llamadas fichas memotécnicas. Como es natural debió ser necesaria alguna técnica, por ello recurrimos a los esposos Marcia y Robert Ascher (quienes en su trabajo ya citado Código de los Quipus), luego de una prolífica investigación no sólo en el territorio que un día fue el Imperio Incaico, han visto alrededor de 400 quipus que se encuentran diseminados en diferentes Prestigiosos Museos alrededor del mundo, hoy, nos muestran como elaborar un Quipu.
Preparación de las cuerdas.
"Los cordones individualmente hilados son la unidad básica de un Quipu. Los cordones son distintivos en que cada uno, que es un juego de por lo menos dos y uno se tuerce mientras el otro se adelgaza y termina con un nudo pequeño " (Fig. 1)
Los extremos doblados se usan juntos para unirse a los cordones. Cuando el algodón o lana está hilados como cordón, o si los pedazos de torzal están cortados de los cordones más largos, un paso especial del hilado final se necesita para prepararlo como cordón del Quipu. El último paso es doblar el cordón doblemente torcido.
Paso 1
Para tener el equipo necesario es suficiente construir algo parecido a una rueca o huso llamado "huso de la gota" por su parecido a la gota de agua. Este simple instrumento puede crearse con cualquier
pedazo de madera de modo que sea el piso redondo o una pequeña papa (patata) partida por la mitad. Una aguja de tejer o un lápiz introducido en la mitad en la mitad de patata o de otra cosa parecida son ideales. Para ello, inserte perpendicularmente la aguja de tejer a través del centro de la mitad de la patata como lo indica la Fig. 2. Como si fuera un eje de la misma.
Paso 2
Luego, cortar un pedazo de torzal de dos veces la longitud del eje para ser usado como la cuerda principal. Atar el extremo de la cuerda alrededor del eje y la patata como indica el diseño y lo afianza en el lugar envolviéndolo alrededor del eje tres o cuatro veces. Sacar la punta fuera y bajo la envoltura del eje una vez alrededor de su base; y lo pasa por encima del otro lado del eje a la punta del mismo. Se sigue este procedimiento cada vez que se quiere hacer un nudo y el número de vueltas determinan las unidades que el nudo representa.
Para anudar al cordón principal, como está indicado en las letras de los cordones "b", "c", e inclusive la cuerda subsidiaria "1" del cordón indicado con la letra "d"; puede seguir dos pasos:
a) Repita el paso anterior simplemente, ate la punta del cordón aproximadamente 4 cm. de la nariz del eje con un medio tirón. Ya están ahora completas y puede separar el torzal.
b) Puede hacer lo que indican los incisos a), b), c) a), b), c). Para asegurar en el cordón principal recorra el torzal, se tuercen dos pedazos juntos.
Como nosotros no podemos hilar los hilos de lana o algodón, y tampoco hoy en día eso es indispensable. Las madejas de lana disponibles en el comercio dan buenos resultados mejor que el cordón de algodón disponible comercialmente. Antes de iniciar la preparación de los cordones para manufacturar el Quipu, primero veamos los nombres que adquieren los tipos de torcedu-ra o formas de torsión de los hilos.
a) Cuando se debe torcer en la dirección de las manecillas de un reloj no digital, a esta dirección- se la llama torcedura en Z
b) Cuando se procede a torcer en sentido contrario a las agujas del reloj a esta dirección se llama una torcedura. S.
Pruebe con un pedazo del hilo de lana para ver en qué dirección esta la torcedura original del mismo. Si es en Z, siga con esa misma dirección, y si es en S hago lo indicado;
Para preparar los cordones se toma una longitud de unos 2 m de hilo de lana de la madeja.
Primero se extiende el hilo de lana luego , una vez bien torcido el hilo ya sea en Z o en S, se dobla a partir de la mitad del mismo y se deja que se junten los dos brazos del hilo y se retuerce aun se retuerce aun más hasta conseguir la torsión deseada. Seguidamente se habrá obtenido una longitud aprox. de 1 m Si se quiere que éste sea el cordón principal se retuerce nuevamente ya sea en Z ó S y finalmente se dobla por la mitad y se obtiene un cordón grueso al que llamaremos "doblemente doble torcido". Si se quiere que sea para las cuerdas colgantes se sigue la primera parte de este procedimiento hasta lograr la longitud de l m o menos, luego se lo puede doblar dividiendo en dos partes a cada parte le llamaremos "doble torcido". Cada parte es un tamaño conveniente para empezar. La cuerda subsidiaria bastará que sea un torcido simple.
Cada Quipu normalmente tiene un cordón (el cordón principal) eso es mucho más grueso que los otros. Para hacer cordones más gruesos, doblar el torzal o se puede aumentar usando el primer método, finalmente, antes de doblar los cordones que usan el método modificado.
Para determinar los colores de los cordones y de las cuerdas principales o subsidiarias, puede tomarse en cuenta los explicado en el capítulo correspondiente al cromatismo de los quipus para empezar. La cuerda subsidiaria bastará que sea un torcido simple. Ahora, torcido simple. Ahora, anude los extremos del cordón y empiece a realizarlo según lo indicado.
La Yupana o el Computador Incaico
El presente gráfico que reproducimos aquí se encuentra en el manuscrito de Guarnan Poma. Nos permite ver de modo concreto, varios aspectos marcantes:
a) El título indica: "Colador maior i tezorero tawantinsuio quiposc curaca cóndor-chava. " De todo el título hay dos palabras que están en quechua: (tauantinsuio) "las cuatro regiones" y "curaca" (jefe principal) hace notar la alta posición que debió tener el personaje en el imperio incaico, "condor-chava" ( Es
una castellanización de "kuntur-chawa " que se traduce como "insignia de cóndor"
b) Este personaje, que bien podría ser a quien refiere el título o el “Quipu-camayo”, tiene en las manos un objeto con una sarta de hilos o cordones alineados como indicadores de cantidades, lo de cantidades, lo que ya conocemos con el nombre de Quipu
c) En la parte inferior izquierda nos llama la atención un rectángulo que parece una formación de 4 x 5 de fichas de dominó, por los pun-titos que tienen suponemos, a primera vista que indican cantidades y muy posiblemente, las que están en el Quipu. Sería este el instrumento que permitía hacer las cuentas? Intentaremos hallar respuesta a esta y otras cuestiones de las que, nos ocuparemos más adelante con las investigaciones respectivas.
Mas, antes de ese cometido veamos lo que contiene el manuscrito de la página 361. El que a la letra y sin corrección alguna dice:
"Contador I Tezorero Contador mayor deto doeste rreyno con-dorchaua hijo de apo aeste le llamauan tauantinsuyo runaquipoc yn-cap haziendan chasquicoc tezorero mayor dize que este principal tenia una grande auilidadpara saiter su auilidad el ynga mando contar y numirar ajustar con los yndios des te reyno con la lana del cierto taruga enparexaua con una comida llamado quínua contaua la quinua y los yndios fue grande su auilidad mejor fuera en papel y
tinta contador mayor hatunhuchaquipoc -contador menor hu-chuy huchaquipoc -cuentan en tablas -numiran de cien mil y dedies mil y de ciento y de dies hasta llegar auna deto do lo que pasan eneste rreyno lo asienta y fiestas y domingos y meses y años y en cada ciudad y uilla y pueblos de yndios auia estos dichos auia estos dichos contadores y tesoreros eneste rreyno y contaua desta manera comensando de uno dos y tres suc - iscay - quin-za - taua - pichica -zocta - canchis - puzac - yscon - chunga - yscacychunga - quinzachunga — tauachun-ga - piscachunga - zoctachunga -canchischunga - pozacchunga -ysconchunga - pachaca — uaranga - chungauaranga - huno - pa-chahuno - uarangahuno - pantacachuno.
Análisis.
El gráfico del manuscrito muestra los siguiente:
a) un título manuscrito en el cual se lee: Contador i tezorero CONTADOR Mayor cóndor chava, hijo de apo. "Apo" ó "apu" cuyo significado es "señor"; "noble". Según el diccionario, Castellano-Quichua de Ángel Herbas Sandoval, publicado por el diario Presencia.
Después de dar una lectura general, nos percatamos que el manuscrito se ha realizado con el lenguaje propio de su autor. Es decir, tal como él lo hablaba y como es de suponer, eso haría que el idioma se presente defectuoso. Sin embargo eso no le quita su valor informativo e ilustrativo, pues, es comprensible, según los filólogos y lingüistas, en la legua Quichua y Aymara las vocales de mayor dominio son "a, i, u ", así como su alfabeto no tendría las letras "b" o "v"
"En efta lengua ningún vocablo comiença por B ni fevfa defta letra entre Aymaraes " (Diccionario de la Lengva Aymara P. Lvdovico-Bertonio)(1612)
La letra "h" en quechua, se la pronuncia como "j" en “hatunhuchaquipoc" acompañada de la "c" como en "canchis" o, no se la pronuncia por ello en "habilidad" se pronunciaría "auilidad" . En cuanto a las vocales, ellas las vocales, ellas son cambiadas cuando se las pronuncia castellanizadas. Aun hoy en día podemos escuchar a nuestros campesinos de habla Quichua, decir "lichi" por "leche" y "mastruy" por "maestro", pese a que se los sometió a una castellanización forzada desde 1955 con el pretexto de la Reforma Agraria. Los detractores de nuestro nativo cronista no se dignaron analizar este aspecto tan importante, como el que citamos, dado que el castellano o español era una lengua extranjera para él, así como para todos los pueblos originarios del Tawantinsuyo.
Consideramos que será de mucho mas valor realizar una traducción donde corresponda y luego un análisis semiológico del contenido decodifícando, el mensaje, antes que buscando lo semántico. Por tanto, vamos a interpretar lo que no es totalmente Castellano o Quichua ya sea un párrafo, oración o palabra:
b) Se lee: "le llamauan tauantinsuyo runaquipoc yncap haziendan chasquicoc tezorero mayor
Interpretación: // Le llamaban el hombre encargado de los quipus en la hacienda del inca de las cuatro regiones //
c) Se lee "el ynga mando contar y numirar ajusfar con los yndios deste reyno con la lana del cierto taruga
Interpretación: // El Inca mandó enumerar y hacer cuentas con los indios de este reino con la lana de cierto cervatillo. Se sobre entiende que dicha lana era para hilar los cordones de los quipus en los cuales quedarían registrados los datos de esas cuentas.
"... enparexaua con una comida llamado quinua contaua la quinua y los yndios fuelos yndios fue grande su auilidad mejor fuera en papel y tinta contador mayor hatunhuchaquipoc..."
Interpretación: // Hacía las cuentas (sumaba y contaba) paralelamente con una comida llamada quinua. Para aclarar aun más, los granos de quinua son del tamaño de los granos de alpiste, por ello resalta "su grande auilidad" del contador mayor o "hatunhuchaquipoc" (encargado de usar la matemática "Juchhawa" en Quichua), mejor que si lo hubiera hecho con tinta y papel. Después de saber que la quinua son unos granos muy pequeños hasta para manipular, nos parecería algo ilógico o contradictorio usarlos para hacer las cuentas. Pero, no es así, pues, como ya lo leímos, contaban de 1 a 100 000; luego, sólo para tener una idea, si las cantidades de las cuentas hubieran alcanzado un número sólo de hasta 4 cifras, algo así como 5 483 ¿en qué bolsas o depósitos hubieran tenido cabida otros granos de mayor tamaño, si cada grano representaba a un habitante del Imperio? Imaginemos que hubieran usado, maíces, porotos o piedrecillas ante la ausencia de esos granos. Además del tamaño tendríamos el peso, lo que significaría un problema para su traslado dependiendo de las cantidades y tomando en cuenta que, los medios de transporte en la época eran las llamas, las que no pueden llevar más de una arroba u 11 kgs de peso y más aun por esos serpenteantes y empinados caminos.
"...- contador menor huchuy huchaquipoc - cuentan en tablas -numiran de cien mil ycien mil y dedies mil y de ciento y de dies hasta llegar auna deto do lo que pasan eneste rreyno lo asienta y fiestas y domingos y meses y años ..."
Interpretación: // Significa que había toda una jerarquía de entendidos en contabilidad, además del contador mayor, el contador menor también hacía las cuentas ("- ... en tablas -") o contaba con los pelos de la "taruca" (ciervo) acompañando con los granos de quinua hasta la cuenta de "/ a 100 000" de todas las actividades que merecían ser cuantificadas y que acontecía en todo el reino incluyendo las "fiestasy domingos". (Léase semanas en lo escrito por el cronista).
"...y en cada ciudad y unía y pueblos de yndios auia estos dichos contadores y tesoreros eneste rreyno y contaua desta manera comen-sando de uno dos y tres.
Interpretación: // Todos los poblados del Imperio tenían personas encargadas de las cuentas públicas y de la custodia de los valores por los llamados tesoreros.
"...era suc (uno)- iscay (dos)- quinza (tres)- taua (cuatro)-pichica )cinco)~ zocta (seis)- canchis (siete)- puzac (ocho)- yscon
(nueve)- chunga (diez)- yscacychunga (veinte)- quinzachunga (treinta)- tauachunga (cuarenta)- piscachunga (cincuenta)- zocta-chunga (sesenta)-canchischunga (setenta)- pozacchunga (ochenta)-ysconchunga (noventa)- pachaca (cien)- uaranga (mil)- chungaua-ranga (diez mil)-^ huno (millón)- pachahuno (cien millones)- uaran-gahuno (mil millones)-pantacachuno (infinito).
Interpretación: // Vemos que la forma de contar por lo que está escrito, increíblemente llegaron a contar hasta mil millones y lo que admira tener un nombre para aquella cantidad para aquella cantidad superior a mil millones. "Pantac o pantajj, cuya palabra primitiva es panta que en quechua significa equivocación. Es decir el número es tan grande que, el contador después de los mil millones no teniendo otro nombre para utilizar en siguiente lo llama el millón que puede hacer equivocar. Una pregunta que nos hacemos es, si alguna vez se realizó una cuenta empírica tan grande que obligó a crear este nombre, o el mismo es fruto de una cuenta apriorística?
Dejando de lado esto último, queremos ratificar que, manipular cuentas con tales números en los quipus hubiera sido un trabajo no sólo difícil, mas también agotador, en eso de hacer y deshacer nudos, así, como el tamaño y el peso que tendrían los quipus, máxime si los cordeles de los mismos dada la naturaleza del que estaban manufacturados absorben la humedad ambiental con lo que se hacen aun más pesados, especialmente si ellos eran tan grandes como el de la colección de Daulsberg en Arica -Chile que vimos en las páginas precedentes.
Hasta ahora hemos visto de un modo muy simple lo que es el qui-pu. Y, encontramos que, este es un instrumento utilizado por los habitantes andinos desde la época del incario. Después de haber aprendido cómo se construye un Quipu, dada la laboriosidad que requiere manufacturarlo, además del análisis anterior, no nos queda duda alguna de que el mismo, apenas podía ser un instrumento para registrar o guardar registrar o guardar esa cuentas, de un modo organizado. Los Esposos Ascher por ejemplo han hecho una relación de su interpretación del Quipu con aplicaciones algebraicas por lo que se colige que los incas tuvieron, al igual que en otras culturas, un sistema de numeración basado en el valor de posición de los signos, los cuales como ya lo vimos, en vez de ser gráficos, tenían la forma de nudos situados a lo largo de un cordón. La numeración incaica, por lo visto era decimal, pues, no se puede pensar de otro modo cuando se habla de los encargados de las personas que eran miembros del ejército, los "chunca-camayo" (por diez personas), "pachaj-camayo" (por cien personas), o, "waranca-camayo" (por mil personas). Por usar la modalidad de los romanos hasta podríamos decir decuriones, centuriones, etc.
Sin embargo para no quedar en el campo puramente especulativo y quien sabe, por ahí surge alguien que diga que, con los quipus se podían realizar perfectamente las operaciones de cómputo tomando como base la palabra quechua "quipuni", que aparece en los antiguos glosarios y que, además de la idea de anudar, expresa también la de contar por nudos, sin tener que recurrir forzosamente al empleo del abaco. Por ello en lo sucesivo nos abocaremos directamente a nuestro objetivo como es el estudio de la "Yupana" al que hemos dado en llamarle el primer computador incaico.
¿QUÉ SIGNIFICA Yupana?
Yupana según los primeros léxicos, se denominó léxicos, se denominó yupani, que en quechua quiere decir, "hacer cuentas o contar" o, yo hago las cuentas. Por las informaciones que ya tenemos, los encargados de la contabilidad (si vale la expresión), preferían calcular con piedrecitas u otros materiales parecidos, en especial granos de quínua, maíz o frijoles, y luego anotar con nudos, los resultados obtenidos en los hilos del Quipu. De acuerdo con la mayoría de los cronistas, el cálculo con piedrecitas y granos era ejecutado con gran precisión, y según relata asombrado el padre Acosta, "...¡as cuentas, "aún las muy embarazosas", se hacían "puntualísimamente, sin errar una ñlde..". (1954:190)
Esta manera de calcular generalmente" cuando eran varias las personas que iban a realizar las cuentas decían "yupana " que significa "contemos o hagamos nosotros las cuentas". Luego, de ahí viene el nombre que se le dio al instrumento con el que se contaba y realizaban las cuentas.
"Son pocos los datos que se obtienen del procedimiento adoptado para calcular, el padre Acosta se limita a informar que para ello "los indios toman sus granos y ponen uno aquí, tres acullá, ocho no se donde; luego pasan un grano de aquí, truecan tres de allá, y así salen con su cuenta"
De todas las fuentes consultadas las que mejor nos explican estás la de Guarnan Poma en su "Nueua Coronica", que lo representa como una especie de tablero, que lo hemos visto en el diseño realizado por el mismo en la página 360; otra información tenemos en la "Historia del Reino de Quito", del padre Juan Velasco, que al parecer conocía bastante, sobre de las antigüedades indias, él nos dice
que, "... el instrumento usado para esos menesteres era algo así como unos depósitos hechos de madera, de piedra o de barro, con diversas separaciones, en las cuales se colocaban piedrecillas de distintos tamaños, colores y figuras angulares" (1841- 44, T.II: 7), y una tercera en las explicaciones que nos da Radicati Di Primeglio. Mas veamos por partes.
Según el dibujo antes citado, dijimos que parecían fichas de dominó, el mismo viene a ser la yupana, es decir, un tablero con veinte casillas distribuidas en cinco filas y cuatro columnas. En cada casilla aparece cierto número de círculos, correspondiéndole cinco círculos a las casillas de la primera columna, tres a las de la segunda; dos a las de la tercera y uno a los de la cuarta. Además, algunos de estos círculos son negros y otros son blancos.
Algunos han considerado que los círculos blancos representan sitios u hoyos destinados a ser ocupados por elementos auxiliares de cálculo; tales como granos de quinua (que los hay negros y blancos), maíz, frijoles, piedrezuelas, etcétera. Los círculos negros representarían lugares ocupados por elementos (que en general llamaremos fichas). Dando por válida esta suposición, a lo más podrían colocarse cinco fichas en una casilla de la primera columna, o dos fichas en la casillade la tercera columna.
"...Otra opinión sobre el particular es que se ha tratado de representar fichas de dos colores diferentes, recurso que resulta de mucha utilidad para la operación de sustracción si se asigna uno de los colores al minuendo y otro al sustraendo.
Entre los científicos que han estudiado el abaco incaico, llegando a formular planteamientos concretos sobre su estructura y uso, mencionamos a Henry Wassen, que en 1931 publicó The Ancient Peruvian Abacus, a Carlos Radicati di Primeglio, quien en su libro El sistema Contable de los incas se ocupa conjuntamente del tablero de cálculo y de los quipus (al estudio de este último tema se dedicó de 1950 hasta su muerte en 1990); a Emilio Mendizábal Losack, que dedicó a la yupana uno de los capítulos de su tesis doctoral escrita en 1971; a
William Buras Glynn, que en el trabajo "La tabla de cálculo de los incas" desarrolla su visión sobre el uso del abaco; a Juan Ansión que hace desarrollos importantes sobre el tema en su artículo "Cómo calculaban los incas"; a Hugo Pereyra Sánchez, que en su trabajo "La Yupana, complemento operacional del Quipu" plantea una generalización de los trabajos de Wassen y Radicati; y a Percy Aitken-Soux y Faustino Ccama, que en su artículo "Abaco andino, instrumento andino ancestral de cómputo" describen las instrucciones de una yupana etnográfica del pueblo de Itujata, Potosí, Bolivia..." (Ref, tomada de Colección de Escritos por los autores citados 1990:207-209)
Por razones didácticas y obedeciendo a nuestro objetivo, el de poner en vigencia la yupana incaica como un coadyuvante actual en el aprendizaje de la matemática en la escuela Primaria (valga la reiteración), vamos a quedarnos, principalmente con Carlos Radicati de Pri-meglio, por la clara interpretación que hace de lo que ha escrito Guarnan Poma y por la colección de informaciones que nos da respecto a una variedad de "yupanas", que no son apenas, literales, pues, nos presenta una colección de ilustraciones que son elocuentes y no precisan mayores descripciones. Gracias a ellas podemos tener una visión real más clara, a la imagen mental que no habíamos formado por lo indicado por el padre Acosta refiriéndose al tablero de realizar cuentas, pero sin nombrarlo: "los indios toman sus granos y ponen uno aquí, tres acullá, ocho no se donde; luego pasan un grano de aquí, truecan tres de allá, y así salen con su cuenta". (1954: 190)
En cambio el padre Juan Velasco hace mención del tablero para hacer las cuentas, pero no le da el nombre con el que se le conoce.
"... el instrumento usado para esos menesteres era algo así como unos depósitos hechos de madera, de piedra o de barro, con diversas separaciones, en las cuales se colocaban piedrecillas de distintos tamaños, colores y figuras angulares" (1841- 44, Til: 7)
A parte de usar las ilustraciones que Radicati de Primeglio nos ofrece en su singular trabajo titulado "Tableros de escaques en el antiguo Perú" también copiaremos sus respectivos textos en su inte- 6 gra, pues, consideramos que de ese modo, ayudamos a difundir su trabajo manteniendo fielmente su contenido.
"Antiguos tableros con escaques"
El primer tablero con el respectivo perfil original, lo tenemos al lado con una vista desde arriba. "Se trata de un tablero de madera de forma rectangular (33 x 27 cm.) en cuya cara superior hay 17 compartimientos, de los cuales 14 son cuadrados, 2 rectangulares y 1 octogonal. De ellos, 7 cuadrados y 1 rectangular, están sobre el lado más prolongado del tablero y otros tantos aparecen en el lado opuesto; ambos conjuntos están separados por un espacio central, que tiene forma octogonal como la de un signo escalonado. En dos de las esquinas del tablero hay unas salientes prismáticas en forma de torres cuadradas (12 x 12 cm.) con dos plataformas superpuestas; la segunda de estas plataformas, que es la más pequeña (7x7 cm.), se asienta sobre uno de los ángulos exteriores de la primera. Por los cuatro costados el tablero está decorado con figuras incisas que representan cabezas humanas y un animal que, según M. Uhle, podría ser el cocodrilo (Uhle 1922); en el fondo hay dibujos de rosetas."
"Idéntico a este aparato es otro excavado en las ruinas de Chan Chan y conservado en el Museo Etnográfico de Gotembürgo (Izikowitz 1967: 78-79). Es también de madera y sus casilleros, al igual que las torres, siguen el mismo ordenamiento; carece, sin embargo, de decoración y tiene tamaño mucho más pequeño (16.5 x 13.5 cm.) (Fig. 4)."
"Otros hallazgos, posteriores al de Chordeleg, se realizaron también en el
Ecuador, en lugares situados entre Cuenca y Sig Sig, proporcionando abundante material de estudio al Padre Jesús Arriaga para su obra Apuntes de Arqueología Cañar (Arriaga 1922). En el Perú, además del ejemplar de Chan Chan anteriormente citado, objetos semejantes fueron señalados a partir de 1877 por Ch. Wiener (Wiener 1880) y, más tarde, por R. Verneau y R Rivet (Verneau y Rivet 1912-22) y por E. Nordenskióld (Nordenskióld 1931) como procedentes del departamento de Ancash."
"Estos tableros, tantos ecuatorianos como peruanos, son de piedra y, salvo pequeños detalles, resultaban casi idénticos a los de madera. El primero, encontrado en Caraz, se diferencia tan sólo por haber sido sustituido el espacio octogonal central por un casillero de forma rectangular y por tener tres plataformas las torres de las esquinas. (Fig. 5). Otro, procedente de Pallasca, es de planta ovalada y la distribución dual de los casilleros es perfectamente
simétrica (Fig. 6). Un tercero, que integra la colección del autor de la presente monografía, es de origen desconocido, pero debe proceder de algún lugar del Callejón de Huaylas; tiene las salientes prismáticas de los costados recortadas en ángulo en una de sus esquinas, como si se hubiese deseado trasladar la reproducción del signo escalonado, que en los aparatos de madera tipo Chordeleg está en el centro, a las aristas de
los torreones laterales. (Fig. 5). Este aspecto, que rompe la configuración cuadrada de las plataformas, da lugar también a que el piso de las dos primeras adquiera de una manera más pronunciada, la forma de una especie de mazo o martillo, particularidad que, como veremos más adelante, es la característica más notable de algunas caáillas de tableros del mismo tipo encontrados en Ica."
"Mayores diferencias se advierten en otros subtipos, originarios también del Callejón de Huaylas, de los cuales el mejor representante lo tenemos en el tablero que describió E. Nordenskióld en su obra Origen de las civilizaciones indígenas de América del Sur (Ibidem). Aquí los casilleros cuadrados están alineados a lo largo de los lados laterales de la tabla, mientras que los rectangulares se encuentran en su interior. Las dos torres, que son cuadradas y de una sola plataforma, están colocadas una a continuación de otra, en la parte superior, justamente encima de los dos casilleros rectangulares del centro; debajo de éstos se sitúa también otro compartimiento rectangular mucho más pequeño. (Fig. 7)."
"Otro subtipo, que hemos estudiado en el Museo de Arqueología de Lima, tiene casi todos los casilleros en forma de triángulo (en total 18) dispuestos alrededor del tablero, a excepción de un
lado en que está ubicada una torre rectangular de un solo piso y con tres compartimientos también triangulares. En la parte central hay cuatro casillas de forma cuadrada, dispuestas de dos en dos."
"Aunque el monumento que ocupa nuestra atención estuvo, evidentemente, distribuido por todo el territorio del Tahuantinsuyo, las noticias arqueológicas que por el momento poseemos se refieren solamente a ejemplares provenientes de la provincia de Cuenca en el Ecuador y de algunos lugares nórticos del Perú, en especial el departamento de Ancash."
"Por esta razón hemos decidido incluir en la presente monografía la descripción de los especímenes inéditos originarios de la región de lea, los cuales presentan, además, modalidades desconocidas y tienen la originalidad de haber sido trabajados en materiales que, como la arcilla y el hueso, aún no han sido señalados por la información arqueológica y, por lo que atañe el empleo del hueso, ni siquiera por las noticias de los cronistas. Ellos se encuentran en el Museo Regional de lea y han sido descubiertos en el yacimiento arqueológico de Carhua de la Bahía de la Independencia en la provincia de Pisco."
"El primero es de arcilla, de color marrón oscuro, y está asentado sobre una base igualmente de terracota, pero más tosca y de color más claro. Ha sido obtenido mediante el empleo del molde, lo que confirió exacta proporcionalidad y una orgánica distribución de los casilleros. Es de planta rectangular, de 47 x 32 cms., y tiene una altura de 5 cms., sinincluir la base. Los compartimientos de forma cuadrada son veintidós y los rectangulares tres; los cuadrados tienen una superficie que oscila entre los 4 y 5 cms. por cada lado; y los rectangulares 16 x 18 cms. la del casillero central y 21.5 x 5.5 cms. la de los laterales; su profundidad es de 1.5 cms. También aquí la disposición de los casilleros evidencia el propósito de presentar dos conjuntos, cada uno de diez compartimientos cuadrados y uno rectangular, situados en las partes laterales del tablero y separados por tres casilleros independientes, de los cuales dos son cuadrados y uno rectangular, ubicados en el centro.
No hay ningún indicio de existencia de torres en las esquinas. (Fig.
."
"El segundo ejemplar iqueño es de hueso de cachalote, material empleado frecuentemente en la región para usos diversos, como la construcción de techos de tumbas, según indica J.C. Tello cuando trata de los hallazgos realizados en Paracas (Tello 1959). Su plano (32 x 23 cms.) es algo más reducido que el del ejemplar de arcilla y, en consecuencia, los casilleros son también más pequeños (3x3 cms. los cuadrados y 5 x 3 los rectangulares); en su disposición se ha seguido el mismo principio dual, o sea dos conjuntos de casilleros ubicados a ambos lados del tablero. Cada conjunto presenta doce casillas, de las cuales once son cuadradas y una en forma de mazo o martillo, tal como ocurre con la configuración de las bases de las plataformas de los torreones con esquinas recortadas en signo escalonado que hemos encontrado en otro artefacto de piedra del Callejón de Huaylas. Dichos casilleros "en martillo" son mucho más grandes que los tres rectangulares que se encuentran en el centro, separando los dos conjuntos laterales. (Fig. 9)."
"Al lado de estos tableros cuya principal característica es la forma cóncava de sus compartimientos
existen otros en que los casilleros están simplemente señalados con rayas incisas o dibujadas, o también mediante cuadritos de colores alternados muy parecidos a los que son propios de las tablas que se emplean actualmente para jugar ajedrez o a las damas. La representación del ajedrezado fue muy difundida en el antiguo Perú y llamó la atención de los españoles desde el instante mismo de su llegada al país, siendo precisamente los testigos de la captura de Atahuallpa los que describen los trajes de los acompañantes del inca como libreas con colores dispuestos a manera de escaques de tablero de ajedrez. Trajes semejantes los podemos admirar en las vitrinas de los museos o reproducidos en la figuración de la cerámica peruana de todas las épocas y estilos."
"Como ejemplo de tablero con casilleros señalados mediante rayas, podemos mencionar el que encontró Mas Uhle en una sepultura de Huancarcucho en el alto Ecuador (Uhle 1922 : 230). Tiene la forma de una pequeña loseta de 2,5 cm. de espesor y 8. 5 x 9 cm de superficie y representa grabados en una de sus caras. 10 casilleros distribuidos en triángulo escalerado; en una de las esquinas del lado superior hay cavado en la piedra, un platillo de 5 cm. de profundidad, separado del damero escalonado por un espacio con ornamentos constituidos por dos fajas con puntos y una tercera con motivos de ramas de árbol, (fig. 10)
"Delineamientos también incisos es otro ejemplar presentado por Olaf Holm en la Mesa Redonda de Arqueología de Guayaquil de 1057 y descrito en el ensayo titulado "Taptana o el ajedrez de Atahuallpa" (Holm 1958) Se trata igualmente de una loseta de piedra arenisca, pero de dimensiones mucho mayores que la de Uhle: 38 x 25 cm. De superficie por 7.5 cm de espesor. Su procedencia probable es el austro ecuatoriano. En la parte superior hay un platillo de 12 cm. de diámetro y un cm. de profundidad, cavado en la piedra. Inmediatamente debajo vienen dos campos formados por líneas incisas y diagonalmente opuestas: cada campo está constituido por nueve casilleros (3 x 3) y mide aproximadamente 9 cm. en cuadro."
"Como dijimos también en la alfarería el escaque sirvió de motivo para la decoración de las vasijas o de los trajes de los personajes en ellas figurados; en este caso cuando se trata de guerreros, significó las chapas o cin- j tas metálicas
que como blindaje protector, recubren las cusmas y los escudos. Sin embargo, a veces, el dibujo en cuadros o rectángulos, no está función de simple decoración o para señalar aspectos particulares del atuendo, sino cómo modalidad precisa de un verdadero artefacto en forma de tablero con escaques. De esta clase de representaciones nos limitaremos a señalar dos, que pertenecen a la cerámica mochica. La Primera de ellas es la escenografía de un huaco que Rafael Larco H. escogió para demostrar su tesis de la escritura sobre pallares (Larco 1939, T,II: lámina XXIII). En la escena aparecen individuos rodeados de pallares y en actitud de disponer sobre la arena algunas varillas que forman una especia de enrejado o damero cuya particularidad consistía, quizá, en su fácil confección y en la rapidez con que se podía desarmar. (Fig. 12). La segunda representación de tableros con escaques la encontramos en una vasija del Museo de arqueología de Lima que ha sido por L. Y Th. Engl (Engl 1967: lámina 15 p.200) La escena de este cántaro consiste en un desfile de personas que transportan con solemnidad un tablero de grandes proporciones, en cuya superficie están delineados veinte casilleros (5 x 4), de los cuales la mayoría tiene dos puntos en su extremidad superior. El individuo que carga el tablero está precedido por
dos guerreros ricamente ataviados y seguido por músicos y cargadores de trofeos que llevan estacas en cuyas _ cimas están clavadas cabezas humanas."
"El dibujo de este tablero es muy semejante, diríamos casi idéntico, al de una viñeta de la difundida crónica de Guarnan Poma de Ayala, aquella que ilustra la manera de contar de los antiguos quipo-camayos (Guarnan Poma 1936: 360)."
"Yupanas y Taptanas"
Aunque no es nuestra intención hacer un estudio que establezca analogías o diferencias entre la Yupana (centro de nuestro interés) y la Tapatana, consideramos que las explicaciones que nos da Radicati De Primeglio son más que suficientes.
"En relación con su uso, las tablas de escaques fueron interpretadas de tres maneras: como maquetas arquitectónicas, como yupanas o abacos y como taptanas o tablas empleadas en los juegos de azar, especialmente aquellos que se practicaban en cumplimiento de ciertos preceptos o ritos funerarios."
"La hipótesis de que fueron maquetas de edificios se planteó al conocerse el tablero de Chordeleg, porque a primera vista se tiene la impresión de que es la representación de una fortaleza, cuyas torres dominan un recinto plano con habitaciones cuadradas y oblongas, dispuestas una a continuación de otra. El primero que lanzó esta idea fue Adolfo Bastían (Bastían 1877), a quien siguió inmediatamente Federico Gonzáles Suárez (González 1878) al sostener que se trataría de la reproducción de todo un conjunto urbanístico, quizá el mismo pueblo de Choredeleg. Esta suposición dio lugar a que cuando se habla de este tablero se acostumbre denominarlo también "plano de Chordeleg.""
Con el tiempo la hipótesis arquitectónica fue prácticamente abandonada y se impuso más bien la creencia de que los tableros sirvieron para la realización de cálculo y fueron, por consiguiente, verdaderos contadores o abacos.
La tesis del abaco tuvo su mejor representante en Carlos Wiener, que planteó y desarrolló en ele relato de su viaje por el departamento de Ancash (Wiener 1877) y después, en su obra Perú y Bolivia (Wiener 1880). Fue en el pueblo de Huandoval, cerca de Caban y en la hacienda Urcon, siete leguas de Corongo, donde este viajero tuvo la oportunidad de examinar dos tableros de granito parecidos al de madera de Chordeleg, que habían sido encontrados en las ruinas de la población prehispánica'de Chucama y en la antigua apacheta del cerro Huauyan."
"Un relato tradicional, difundido en localidad y recogido probablemente de labios del cura de Huandobal, sugirió Wiener la idea de que estos aparatos debían haber servido para calcular los tributos que pagaban los ayllus de la zona "Según la leyenda, dice, en ellos fueron registradas, en otros tiempos, por medio de granos de diferentes colores, las contribuciones de todos los habitantes Huama-chuco, representando cada color una tribu especial".
En cuanto a la manera realizar cálculo, piensa que "los diferentes pisos de estas especies de depósitos tenían la particularidad de elevar al décuplo el valor del grano que allí se hallaba; de manera que un grano en una división indicaba un valor de contribución que podía ser el décuplo o céntuplo de aquél de otra división", Concluye expresando que, "en el Perú de ayer existía un cierto orden de cosas que se reflejaba en el libro mayor de la relación exacta del Debe y Haber"; concepto este que explicaría el dualismo de los casilleros y torres porque señala que, en un mismo tablero uno de los conjuntos de casilleros con su respectiva torre, servía para consignar el tributo que se debía pagar mientras que el otro conjunto situado en el lado opuesto, registraba la cantidad de trabajo a medida que se recaudaba."
"En cuanto a las fichas o marcas, se apuntaba lo de cada lado de la pisca con guijas que eran movidas dentro de los escaques del tablero. Sin embargo era muy frecuente el uso de fréjoles, generalmente redondos, de varios géneros y nombres y, más que todo, de diferentes colores. De ellos, los preferidos eran los llamados huairuros, lindísima semilla del huairo (Erythrina corallodendron)" (más conocido como "sirari" en la región oriental de Bolivia), "árbol que crece en las regiones cálidas de las vertientes orientales de los Andes. Parece que cuando el juego se realizaba con fichas de huairuros, la pisca que se empleaba era de mayor tamaño y el propósito del juego no era simplemente la distracción o la ganancia sino el cumplimiento de ciertos ritos o ceremonias funerarias. Al respecto González Holguín apunta en su diccionario que la palabra húairo significó el juego con este tipo de fréjoles sobre todo en el velorio de cadáveres" (González Holguín 1952); finalidad admitida por muchos cronistas que al comentar los actos ceremoniales anteriores al entierro, señalan como de gran importancia el juego de la pisca"
Interesante es observar que si se pone en relación el contenido mágico-religioso del juego de los huairuros con los motivos de decoración del tablero de Chordeleg, es preciso admitir que probablemente estuvo acertado Max Uhle al afirmar que las figuras de cabezas humanas que están distribuidas alrededor del tablero, representan las de los prisioneros de guerra que fueron decapitados por no haber tenido la suerte de ganar en el juego ceremonial del huairo que antecedió los sacrificios. Como dato significativo se puede agregar que el número de cabezas dibujadas es catorce, el cual coincide con el de la suma de los dos conjuntos de casilleros cuadrados (7 + 7) colocados a ambos lados del tablero. Esta opinión de Uhle queda, además, confirmada por la escenografía del cántaro mochica del Museo de Arqueología de Lima anteriormente descrito, en la que un tablero con escaques, llevado solemnemente en procesión, está escoltado por portadores de astas en cuyas cimas aparecen cabezas de trofeo."
"Para dar término a estas reflexiones sobre la taptana debemos considerar, por último, la posibilidad de que de ella haya derivado la yupana, suposición que coincide, en parte, con la tesis de Nordenskiold que señala como un paralelismo cultural entre el Viejo y el Nuevo Mundo la práctica de los juegos de fortuna con tablas para contar (Nordenskyóld 1931). Creemos que, después de haberse inventado y usado por cierto tiempo la tabla de juego, surgió la idea de que ella podía ser empleada también con fines contables. Esta creencia se basa principalmente en la similitud que, en cuanto forma, disposición y número de casilleros, existe entre el tablero de juego reproducido en el cántaro mochica y el auténtico abaco incaico dibujado y descrito por Guarnan Poma: similitud que ha sugerido a algunos autores, entre ellos L. Y Th. Engl, la suposición de que la escena del mencionado cántaro representa un cortejo que vuelve triunfante del combate, llevando la tabla de contar que sirvió para calcular y liquidar el botín de guerra o los tributos recaudados (Engl 1967 didascalia lam. 15). Otra razón favorable a nuestra manera de pensar es la natutral derivación que de la taptana a la yupana debió producirse cuando fue necesario facilitar el recuento de las cosas con la adopción de un sistema de cómputo más rápido y eficiente/'
"Es evidente que de todos los tipos de taptanas, el que mejor se presta para la finalidad contable es el más simple, o sea aquel formado por casillas del mismo tamaño, distribuidas uniformemente en sentido vertical y horizontal: en otros términos, un tablero que puede ser confeccionado fácilmente con rayas trazadas sobre una plancha de madera o representadas mediante esas famosas varillas dispuestas en enraejado que, de acuerdo con la interpretación de R. Larco Hoyle, sirvieron para descifrar los mensajes escritos sobre pallares (Larco 1939, Cap. V), o, según opinión de otros autores, representan taptanas donde los fréjoles eran empleados como fichas para señalar los tantos del juego (Vivante 1942)."
Corroborando un poco con R. L. Larco, podemos indicar J. F. Ve-larde en "Los Imperios Andinos" hace referencia que las inscripciones en los pallares ya era usadas por culturas inclusive anteriores a la de los incas. "Es altamente probable que conocieron , además un tipo de escritura ideográfica, perdido después de las convulsiones que azotaron la región. Esta conjetural descansa en el descubrimiento de unos vasos donde se ha dibujado, con suma claridad, la escritura, el correo, y la lectura o interpretación de pallares. Los arqueólogos han descubierto varias colecciones de pallares pintados. Pues, se supone que los puntitos o marcas indicaban determinadas cantidades según su respectiva aplicación, pero, hasta ahora no se ha logrado descifrarlos.
La figura que tenemos al lado es uno de los tableros parecido a una taptana que, aun hoy en día es usado por los Yao de Mozambique. Este tablero es de 4 x 8, pues, los hay de menos casillas circulares y, sólo es usado para jugar y no para realizar cálculos.
INDICE
Introducción
Consultando A Los Antecesores
El Quipu Una Base De Datos Aritméticos
Y Astronómicos
Quipus Contemporáneos
El Quipu Incaico
Descripción Del Quipu
Los Datos Y Su Representación En Los Nudos
Cromatismo Del Quipu
Cómo Hacer Un Quipu
La yupana 0 El Computador Incaico
¿Qué Significa yupana ?
Antiguos Tableros Con Escaques
yupanas Y Taptanas
Interpretando La yupana
BIBLIOGRAFIA
“YUPANCHIS” La matematica Inca y su incorporación a la clase
De Yonit Bousany
“ORIGEN DE LA MATEMTICA A TRAVEZ DEL TIEMPO”
De Zelma Wang Torrez
“LA INVESTIGACION EN TORNO AL SISTEMA DE CONTABILIAD INCAICO ESTADO ACTUAL Y PERSPECTIVA”
De Margarite E. Gentile L.
“PROYECTO YUPANA”
De Carlos A. Hernandez Garcia
“TALLER DE DIDACTICA DE LA MATEMATICA III”
De Constantina Jaldin Montaño
PARTICIPANTES:
David Gonzales Davalos
Hernan Abel Trujillo Arnez
"Por lo que toca al cromatismo de los quipus contables, corta es la lista de colores que nos han proporcionado los cronistas. Ellos señalan, en primer lugar, el empleo del color natural (marrón en sus tonalidades, clara y oscura) que es propio del material (lana o algodón) empleado en la confección del Quipu: mencionan luego, los colores obtenidos del teñido, como blanco, rojo, morado, pardo, amarillento pajizo, verde, carmesí. Como combinación cromática hablan de la mezcla de tres colores en la misma cuerda de tres torzales: azul, amarillo, blanco".
"En el señalamiento de los colores y de sus mezclas, la información arqueológica ha sido mucho más generosa que la de los cronistas. A base de las pocas decenas de quipus estudiados se ha podido precisar los siguientes colores básicos: el marrón que aparece con cuatro tonos, claro y más claro (casi un blanco amarillento), oscuro y más oscuro (casi un negro pálido); el blanco con dos tonalidades, la muy clara, casi el color de la leche y las más opaca un blanco sucio quizá el color natural; el color natural; el azul en tonos claro y oscuro bien definidos; el verde pálido o bien muy intenso; el rojo en dos tonalidades, fuerte y tenue; el amarillo brillante como el oro o algo desteñido; el negro que cuando es algo pálido se confunde con el marrón más oscuro."
Las mezclas de colores son muchas, habiéndose registrado más de veinte: el Quipu N° 7 de Nordenskiól, por ejemplo, exhibe 17 expresiones cromáticas, de las cuales 8 son colores únicos y 9 de combinados. La tendencia de la mezcla se efectúa primeramente entre las mismas tonalidades de los colores, en especial del marrón; luego entre dos o más colores diferentes, preferentemente el blanco que se une al negro, el azul, el verde y sobre todo el marrón; éste a su vez, además de juntarse con el blanco, lo hace también aunque menos frecuentemente con el azul, el negro, el rojo y este último en cambio sólo se mezcla con el marrón como acabamos de decir y con el marrón.
La mezcla de colores se cumple mediante un sistema combinatorio
consistente en tres modalidades bien definidas, que se aplicación mucha uniformidad y escrupulosidad. Ellas son la mezcla por jaspeado torzal más torzal y por posición.
CÓMO HACER UN QUIPU?
Aunque hasta ahora, sólo hemos visto las fotografías de los quipus y, de una manera rápida, sus clases temporalmente hablando, consideramos que es muy importante, sin embargo, conocer cómo se podían hacer estas llamadas fichas mnemotécnicas. llamadas fichas memotécnicas. Como es natural debió ser necesaria alguna técnica, por ello recurrimos a los esposos Marcia y Robert Ascher (quienes en su trabajo ya citado Código de los Quipus), luego de una prolífica investigación no sólo en el territorio que un día fue el Imperio Incaico, han visto alrededor de 400 quipus que se encuentran diseminados en diferentes Prestigiosos Museos alrededor del mundo, hoy, nos muestran como elaborar un Quipu.
Preparación de las cuerdas.
"Los cordones individualmente hilados son la unidad básica de un Quipu. Los cordones son distintivos en que cada uno, que es un juego de por lo menos dos y uno se tuerce mientras el otro se adelgaza y termina con un nudo pequeño " (Fig. 1)
Los extremos doblados se usan juntos para unirse a los cordones. Cuando el algodón o lana está hilados como cordón, o si los pedazos de torzal están cortados de los cordones más largos, un paso especial del hilado final se necesita para prepararlo como cordón del Quipu. El último paso es doblar el cordón doblemente torcido.
Paso 1
Para tener el equipo necesario es suficiente construir algo parecido a una rueca o huso llamado "huso de la gota" por su parecido a la gota de agua. Este simple instrumento puede crearse con cualquier
pedazo de madera de modo que sea el piso redondo o una pequeña papa (patata) partida por la mitad. Una aguja de tejer o un lápiz introducido en la mitad en la mitad de patata o de otra cosa parecida son ideales. Para ello, inserte perpendicularmente la aguja de tejer a través del centro de la mitad de la patata como lo indica la Fig. 2. Como si fuera un eje de la misma.
Paso 2
Luego, cortar un pedazo de torzal de dos veces la longitud del eje para ser usado como la cuerda principal. Atar el extremo de la cuerda alrededor del eje y la patata como indica el diseño y lo afianza en el lugar envolviéndolo alrededor del eje tres o cuatro veces. Sacar la punta fuera y bajo la envoltura del eje una vez alrededor de su base; y lo pasa por encima del otro lado del eje a la punta del mismo. Se sigue este procedimiento cada vez que se quiere hacer un nudo y el número de vueltas determinan las unidades que el nudo representa.
Para anudar al cordón principal, como está indicado en las letras de los cordones "b", "c", e inclusive la cuerda subsidiaria "1" del cordón indicado con la letra "d"; puede seguir dos pasos:
a) Repita el paso anterior simplemente, ate la punta del cordón aproximadamente 4 cm. de la nariz del eje con un medio tirón. Ya están ahora completas y puede separar el torzal.
b) Puede hacer lo que indican los incisos a), b), c) a), b), c). Para asegurar en el cordón principal recorra el torzal, se tuercen dos pedazos juntos.
Como nosotros no podemos hilar los hilos de lana o algodón, y tampoco hoy en día eso es indispensable. Las madejas de lana disponibles en el comercio dan buenos resultados mejor que el cordón de algodón disponible comercialmente. Antes de iniciar la preparación de los cordones para manufacturar el Quipu, primero veamos los nombres que adquieren los tipos de torcedu-ra o formas de torsión de los hilos.
a) Cuando se debe torcer en la dirección de las manecillas de un reloj no digital, a esta dirección- se la llama torcedura en Z
b) Cuando se procede a torcer en sentido contrario a las agujas del reloj a esta dirección se llama una torcedura. S.
Pruebe con un pedazo del hilo de lana para ver en qué dirección esta la torcedura original del mismo. Si es en Z, siga con esa misma dirección, y si es en S hago lo indicado;
Para preparar los cordones se toma una longitud de unos 2 m de hilo de lana de la madeja.
Primero se extiende el hilo de lana luego , una vez bien torcido el hilo ya sea en Z o en S, se dobla a partir de la mitad del mismo y se deja que se junten los dos brazos del hilo y se retuerce aun se retuerce aun más hasta conseguir la torsión deseada. Seguidamente se habrá obtenido una longitud aprox. de 1 m Si se quiere que éste sea el cordón principal se retuerce nuevamente ya sea en Z ó S y finalmente se dobla por la mitad y se obtiene un cordón grueso al que llamaremos "doblemente doble torcido". Si se quiere que sea para las cuerdas colgantes se sigue la primera parte de este procedimiento hasta lograr la longitud de l m o menos, luego se lo puede doblar dividiendo en dos partes a cada parte le llamaremos "doble torcido". Cada parte es un tamaño conveniente para empezar. La cuerda subsidiaria bastará que sea un torcido simple.
Cada Quipu normalmente tiene un cordón (el cordón principal) eso es mucho más grueso que los otros. Para hacer cordones más gruesos, doblar el torzal o se puede aumentar usando el primer método, finalmente, antes de doblar los cordones que usan el método modificado.
Para determinar los colores de los cordones y de las cuerdas principales o subsidiarias, puede tomarse en cuenta los explicado en el capítulo correspondiente al cromatismo de los quipus para empezar. La cuerda subsidiaria bastará que sea un torcido simple. Ahora, torcido simple. Ahora, anude los extremos del cordón y empiece a realizarlo según lo indicado.
La Yupana o el Computador Incaico
El presente gráfico que reproducimos aquí se encuentra en el manuscrito de Guarnan Poma. Nos permite ver de modo concreto, varios aspectos marcantes:
a) El título indica: "Colador maior i tezorero tawantinsuio quiposc curaca cóndor-chava. " De todo el título hay dos palabras que están en quechua: (tauantinsuio) "las cuatro regiones" y "curaca" (jefe principal) hace notar la alta posición que debió tener el personaje en el imperio incaico, "condor-chava" ( Es
una castellanización de "kuntur-chawa " que se traduce como "insignia de cóndor"
b) Este personaje, que bien podría ser a quien refiere el título o el “Quipu-camayo”, tiene en las manos un objeto con una sarta de hilos o cordones alineados como indicadores de cantidades, lo de cantidades, lo que ya conocemos con el nombre de Quipu
c) En la parte inferior izquierda nos llama la atención un rectángulo que parece una formación de 4 x 5 de fichas de dominó, por los pun-titos que tienen suponemos, a primera vista que indican cantidades y muy posiblemente, las que están en el Quipu. Sería este el instrumento que permitía hacer las cuentas? Intentaremos hallar respuesta a esta y otras cuestiones de las que, nos ocuparemos más adelante con las investigaciones respectivas.
Mas, antes de ese cometido veamos lo que contiene el manuscrito de la página 361. El que a la letra y sin corrección alguna dice:
"Contador I Tezorero Contador mayor deto doeste rreyno con-dorchaua hijo de apo aeste le llamauan tauantinsuyo runaquipoc yn-cap haziendan chasquicoc tezorero mayor dize que este principal tenia una grande auilidadpara saiter su auilidad el ynga mando contar y numirar ajustar con los yndios des te reyno con la lana del cierto taruga enparexaua con una comida llamado quínua contaua la quinua y los yndios fue grande su auilidad mejor fuera en papel y
tinta contador mayor hatunhuchaquipoc -contador menor hu-chuy huchaquipoc -cuentan en tablas -numiran de cien mil y dedies mil y de ciento y de dies hasta llegar auna deto do lo que pasan eneste rreyno lo asienta y fiestas y domingos y meses y años y en cada ciudad y uilla y pueblos de yndios auia estos dichos auia estos dichos contadores y tesoreros eneste rreyno y contaua desta manera comensando de uno dos y tres suc - iscay - quin-za - taua - pichica -zocta - canchis - puzac - yscon - chunga - yscacychunga - quinzachunga — tauachun-ga - piscachunga - zoctachunga -canchischunga - pozacchunga -ysconchunga - pachaca — uaranga - chungauaranga - huno - pa-chahuno - uarangahuno - pantacachuno.
Análisis.
El gráfico del manuscrito muestra los siguiente:
a) un título manuscrito en el cual se lee: Contador i tezorero CONTADOR Mayor cóndor chava, hijo de apo. "Apo" ó "apu" cuyo significado es "señor"; "noble". Según el diccionario, Castellano-Quichua de Ángel Herbas Sandoval, publicado por el diario Presencia.
Después de dar una lectura general, nos percatamos que el manuscrito se ha realizado con el lenguaje propio de su autor. Es decir, tal como él lo hablaba y como es de suponer, eso haría que el idioma se presente defectuoso. Sin embargo eso no le quita su valor informativo e ilustrativo, pues, es comprensible, según los filólogos y lingüistas, en la legua Quichua y Aymara las vocales de mayor dominio son "a, i, u ", así como su alfabeto no tendría las letras "b" o "v"
"En efta lengua ningún vocablo comiença por B ni fevfa defta letra entre Aymaraes " (Diccionario de la Lengva Aymara P. Lvdovico-Bertonio)(1612)
La letra "h" en quechua, se la pronuncia como "j" en “hatunhuchaquipoc" acompañada de la "c" como en "canchis" o, no se la pronuncia por ello en "habilidad" se pronunciaría "auilidad" . En cuanto a las vocales, ellas las vocales, ellas son cambiadas cuando se las pronuncia castellanizadas. Aun hoy en día podemos escuchar a nuestros campesinos de habla Quichua, decir "lichi" por "leche" y "mastruy" por "maestro", pese a que se los sometió a una castellanización forzada desde 1955 con el pretexto de la Reforma Agraria. Los detractores de nuestro nativo cronista no se dignaron analizar este aspecto tan importante, como el que citamos, dado que el castellano o español era una lengua extranjera para él, así como para todos los pueblos originarios del Tawantinsuyo.
Consideramos que será de mucho mas valor realizar una traducción donde corresponda y luego un análisis semiológico del contenido decodifícando, el mensaje, antes que buscando lo semántico. Por tanto, vamos a interpretar lo que no es totalmente Castellano o Quichua ya sea un párrafo, oración o palabra:
b) Se lee: "le llamauan tauantinsuyo runaquipoc yncap haziendan chasquicoc tezorero mayor
Interpretación: // Le llamaban el hombre encargado de los quipus en la hacienda del inca de las cuatro regiones //
c) Se lee "el ynga mando contar y numirar ajusfar con los yndios deste reyno con la lana del cierto taruga
Interpretación: // El Inca mandó enumerar y hacer cuentas con los indios de este reino con la lana de cierto cervatillo. Se sobre entiende que dicha lana era para hilar los cordones de los quipus en los cuales quedarían registrados los datos de esas cuentas.
"... enparexaua con una comida llamado quinua contaua la quinua y los yndios fuelos yndios fue grande su auilidad mejor fuera en papel y tinta contador mayor hatunhuchaquipoc..."
Interpretación: // Hacía las cuentas (sumaba y contaba) paralelamente con una comida llamada quinua. Para aclarar aun más, los granos de quinua son del tamaño de los granos de alpiste, por ello resalta "su grande auilidad" del contador mayor o "hatunhuchaquipoc" (encargado de usar la matemática "Juchhawa" en Quichua), mejor que si lo hubiera hecho con tinta y papel. Después de saber que la quinua son unos granos muy pequeños hasta para manipular, nos parecería algo ilógico o contradictorio usarlos para hacer las cuentas. Pero, no es así, pues, como ya lo leímos, contaban de 1 a 100 000; luego, sólo para tener una idea, si las cantidades de las cuentas hubieran alcanzado un número sólo de hasta 4 cifras, algo así como 5 483 ¿en qué bolsas o depósitos hubieran tenido cabida otros granos de mayor tamaño, si cada grano representaba a un habitante del Imperio? Imaginemos que hubieran usado, maíces, porotos o piedrecillas ante la ausencia de esos granos. Además del tamaño tendríamos el peso, lo que significaría un problema para su traslado dependiendo de las cantidades y tomando en cuenta que, los medios de transporte en la época eran las llamas, las que no pueden llevar más de una arroba u 11 kgs de peso y más aun por esos serpenteantes y empinados caminos.
"...- contador menor huchuy huchaquipoc - cuentan en tablas -numiran de cien mil ycien mil y dedies mil y de ciento y de dies hasta llegar auna deto do lo que pasan eneste rreyno lo asienta y fiestas y domingos y meses y años ..."
Interpretación: // Significa que había toda una jerarquía de entendidos en contabilidad, además del contador mayor, el contador menor también hacía las cuentas ("- ... en tablas -") o contaba con los pelos de la "taruca" (ciervo) acompañando con los granos de quinua hasta la cuenta de "/ a 100 000" de todas las actividades que merecían ser cuantificadas y que acontecía en todo el reino incluyendo las "fiestasy domingos". (Léase semanas en lo escrito por el cronista).
"...y en cada ciudad y unía y pueblos de yndios auia estos dichos contadores y tesoreros eneste rreyno y contaua desta manera comen-sando de uno dos y tres.
Interpretación: // Todos los poblados del Imperio tenían personas encargadas de las cuentas públicas y de la custodia de los valores por los llamados tesoreros.
"...era suc (uno)- iscay (dos)- quinza (tres)- taua (cuatro)-pichica )cinco)~ zocta (seis)- canchis (siete)- puzac (ocho)- yscon
(nueve)- chunga (diez)- yscacychunga (veinte)- quinzachunga (treinta)- tauachunga (cuarenta)- piscachunga (cincuenta)- zocta-chunga (sesenta)-canchischunga (setenta)- pozacchunga (ochenta)-ysconchunga (noventa)- pachaca (cien)- uaranga (mil)- chungaua-ranga (diez mil)-^ huno (millón)- pachahuno (cien millones)- uaran-gahuno (mil millones)-pantacachuno (infinito).
Interpretación: // Vemos que la forma de contar por lo que está escrito, increíblemente llegaron a contar hasta mil millones y lo que admira tener un nombre para aquella cantidad para aquella cantidad superior a mil millones. "Pantac o pantajj, cuya palabra primitiva es panta que en quechua significa equivocación. Es decir el número es tan grande que, el contador después de los mil millones no teniendo otro nombre para utilizar en siguiente lo llama el millón que puede hacer equivocar. Una pregunta que nos hacemos es, si alguna vez se realizó una cuenta empírica tan grande que obligó a crear este nombre, o el mismo es fruto de una cuenta apriorística?
Dejando de lado esto último, queremos ratificar que, manipular cuentas con tales números en los quipus hubiera sido un trabajo no sólo difícil, mas también agotador, en eso de hacer y deshacer nudos, así, como el tamaño y el peso que tendrían los quipus, máxime si los cordeles de los mismos dada la naturaleza del que estaban manufacturados absorben la humedad ambiental con lo que se hacen aun más pesados, especialmente si ellos eran tan grandes como el de la colección de Daulsberg en Arica -Chile que vimos en las páginas precedentes.
Hasta ahora hemos visto de un modo muy simple lo que es el qui-pu. Y, encontramos que, este es un instrumento utilizado por los habitantes andinos desde la época del incario. Después de haber aprendido cómo se construye un Quipu, dada la laboriosidad que requiere manufacturarlo, además del análisis anterior, no nos queda duda alguna de que el mismo, apenas podía ser un instrumento para registrar o guardar registrar o guardar esa cuentas, de un modo organizado. Los Esposos Ascher por ejemplo han hecho una relación de su interpretación del Quipu con aplicaciones algebraicas por lo que se colige que los incas tuvieron, al igual que en otras culturas, un sistema de numeración basado en el valor de posición de los signos, los cuales como ya lo vimos, en vez de ser gráficos, tenían la forma de nudos situados a lo largo de un cordón. La numeración incaica, por lo visto era decimal, pues, no se puede pensar de otro modo cuando se habla de los encargados de las personas que eran miembros del ejército, los "chunca-camayo" (por diez personas), "pachaj-camayo" (por cien personas), o, "waranca-camayo" (por mil personas). Por usar la modalidad de los romanos hasta podríamos decir decuriones, centuriones, etc.
Sin embargo para no quedar en el campo puramente especulativo y quien sabe, por ahí surge alguien que diga que, con los quipus se podían realizar perfectamente las operaciones de cómputo tomando como base la palabra quechua "quipuni", que aparece en los antiguos glosarios y que, además de la idea de anudar, expresa también la de contar por nudos, sin tener que recurrir forzosamente al empleo del abaco. Por ello en lo sucesivo nos abocaremos directamente a nuestro objetivo como es el estudio de la "Yupana" al que hemos dado en llamarle el primer computador incaico.
¿QUÉ SIGNIFICA Yupana?
Yupana según los primeros léxicos, se denominó léxicos, se denominó yupani, que en quechua quiere decir, "hacer cuentas o contar" o, yo hago las cuentas. Por las informaciones que ya tenemos, los encargados de la contabilidad (si vale la expresión), preferían calcular con piedrecitas u otros materiales parecidos, en especial granos de quínua, maíz o frijoles, y luego anotar con nudos, los resultados obtenidos en los hilos del Quipu. De acuerdo con la mayoría de los cronistas, el cálculo con piedrecitas y granos era ejecutado con gran precisión, y según relata asombrado el padre Acosta, "...¡as cuentas, "aún las muy embarazosas", se hacían "puntualísimamente, sin errar una ñlde..". (1954:190)
Esta manera de calcular generalmente" cuando eran varias las personas que iban a realizar las cuentas decían "yupana " que significa "contemos o hagamos nosotros las cuentas". Luego, de ahí viene el nombre que se le dio al instrumento con el que se contaba y realizaban las cuentas.
"Son pocos los datos que se obtienen del procedimiento adoptado para calcular, el padre Acosta se limita a informar que para ello "los indios toman sus granos y ponen uno aquí, tres acullá, ocho no se donde; luego pasan un grano de aquí, truecan tres de allá, y así salen con su cuenta"
De todas las fuentes consultadas las que mejor nos explican estás la de Guarnan Poma en su "Nueua Coronica", que lo representa como una especie de tablero, que lo hemos visto en el diseño realizado por el mismo en la página 360; otra información tenemos en la "Historia del Reino de Quito", del padre Juan Velasco, que al parecer conocía bastante, sobre de las antigüedades indias, él nos dice
que, "... el instrumento usado para esos menesteres era algo así como unos depósitos hechos de madera, de piedra o de barro, con diversas separaciones, en las cuales se colocaban piedrecillas de distintos tamaños, colores y figuras angulares" (1841- 44, T.II: 7), y una tercera en las explicaciones que nos da Radicati Di Primeglio. Mas veamos por partes.
Según el dibujo antes citado, dijimos que parecían fichas de dominó, el mismo viene a ser la yupana, es decir, un tablero con veinte casillas distribuidas en cinco filas y cuatro columnas. En cada casilla aparece cierto número de círculos, correspondiéndole cinco círculos a las casillas de la primera columna, tres a las de la segunda; dos a las de la tercera y uno a los de la cuarta. Además, algunos de estos círculos son negros y otros son blancos.
Algunos han considerado que los círculos blancos representan sitios u hoyos destinados a ser ocupados por elementos auxiliares de cálculo; tales como granos de quinua (que los hay negros y blancos), maíz, frijoles, piedrezuelas, etcétera. Los círculos negros representarían lugares ocupados por elementos (que en general llamaremos fichas). Dando por válida esta suposición, a lo más podrían colocarse cinco fichas en una casilla de la primera columna, o dos fichas en la casillade la tercera columna.
"...Otra opinión sobre el particular es que se ha tratado de representar fichas de dos colores diferentes, recurso que resulta de mucha utilidad para la operación de sustracción si se asigna uno de los colores al minuendo y otro al sustraendo.
Entre los científicos que han estudiado el abaco incaico, llegando a formular planteamientos concretos sobre su estructura y uso, mencionamos a Henry Wassen, que en 1931 publicó The Ancient Peruvian Abacus, a Carlos Radicati di Primeglio, quien en su libro El sistema Contable de los incas se ocupa conjuntamente del tablero de cálculo y de los quipus (al estudio de este último tema se dedicó de 1950 hasta su muerte en 1990); a Emilio Mendizábal Losack, que dedicó a la yupana uno de los capítulos de su tesis doctoral escrita en 1971; a
William Buras Glynn, que en el trabajo "La tabla de cálculo de los incas" desarrolla su visión sobre el uso del abaco; a Juan Ansión que hace desarrollos importantes sobre el tema en su artículo "Cómo calculaban los incas"; a Hugo Pereyra Sánchez, que en su trabajo "La Yupana, complemento operacional del Quipu" plantea una generalización de los trabajos de Wassen y Radicati; y a Percy Aitken-Soux y Faustino Ccama, que en su artículo "Abaco andino, instrumento andino ancestral de cómputo" describen las instrucciones de una yupana etnográfica del pueblo de Itujata, Potosí, Bolivia..." (Ref, tomada de Colección de Escritos por los autores citados 1990:207-209)
Por razones didácticas y obedeciendo a nuestro objetivo, el de poner en vigencia la yupana incaica como un coadyuvante actual en el aprendizaje de la matemática en la escuela Primaria (valga la reiteración), vamos a quedarnos, principalmente con Carlos Radicati de Pri-meglio, por la clara interpretación que hace de lo que ha escrito Guarnan Poma y por la colección de informaciones que nos da respecto a una variedad de "yupanas", que no son apenas, literales, pues, nos presenta una colección de ilustraciones que son elocuentes y no precisan mayores descripciones. Gracias a ellas podemos tener una visión real más clara, a la imagen mental que no habíamos formado por lo indicado por el padre Acosta refiriéndose al tablero de realizar cuentas, pero sin nombrarlo: "los indios toman sus granos y ponen uno aquí, tres acullá, ocho no se donde; luego pasan un grano de aquí, truecan tres de allá, y así salen con su cuenta". (1954: 190)
En cambio el padre Juan Velasco hace mención del tablero para hacer las cuentas, pero no le da el nombre con el que se le conoce.
"... el instrumento usado para esos menesteres era algo así como unos depósitos hechos de madera, de piedra o de barro, con diversas separaciones, en las cuales se colocaban piedrecillas de distintos tamaños, colores y figuras angulares" (1841- 44, Til: 7)
A parte de usar las ilustraciones que Radicati de Primeglio nos ofrece en su singular trabajo titulado "Tableros de escaques en el antiguo Perú" también copiaremos sus respectivos textos en su inte- 6 gra, pues, consideramos que de ese modo, ayudamos a difundir su trabajo manteniendo fielmente su contenido.
"Antiguos tableros con escaques"
El primer tablero con el respectivo perfil original, lo tenemos al lado con una vista desde arriba. "Se trata de un tablero de madera de forma rectangular (33 x 27 cm.) en cuya cara superior hay 17 compartimientos, de los cuales 14 son cuadrados, 2 rectangulares y 1 octogonal. De ellos, 7 cuadrados y 1 rectangular, están sobre el lado más prolongado del tablero y otros tantos aparecen en el lado opuesto; ambos conjuntos están separados por un espacio central, que tiene forma octogonal como la de un signo escalonado. En dos de las esquinas del tablero hay unas salientes prismáticas en forma de torres cuadradas (12 x 12 cm.) con dos plataformas superpuestas; la segunda de estas plataformas, que es la más pequeña (7x7 cm.), se asienta sobre uno de los ángulos exteriores de la primera. Por los cuatro costados el tablero está decorado con figuras incisas que representan cabezas humanas y un animal que, según M. Uhle, podría ser el cocodrilo (Uhle 1922); en el fondo hay dibujos de rosetas."
"Idéntico a este aparato es otro excavado en las ruinas de Chan Chan y conservado en el Museo Etnográfico de Gotembürgo (Izikowitz 1967: 78-79). Es también de madera y sus casilleros, al igual que las torres, siguen el mismo ordenamiento; carece, sin embargo, de decoración y tiene tamaño mucho más pequeño (16.5 x 13.5 cm.) (Fig. 4)."
"Otros hallazgos, posteriores al de Chordeleg, se realizaron también en el
Ecuador, en lugares situados entre Cuenca y Sig Sig, proporcionando abundante material de estudio al Padre Jesús Arriaga para su obra Apuntes de Arqueología Cañar (Arriaga 1922). En el Perú, además del ejemplar de Chan Chan anteriormente citado, objetos semejantes fueron señalados a partir de 1877 por Ch. Wiener (Wiener 1880) y, más tarde, por R. Verneau y R Rivet (Verneau y Rivet 1912-22) y por E. Nordenskióld (Nordenskióld 1931) como procedentes del departamento de Ancash."
"Estos tableros, tantos ecuatorianos como peruanos, son de piedra y, salvo pequeños detalles, resultaban casi idénticos a los de madera. El primero, encontrado en Caraz, se diferencia tan sólo por haber sido sustituido el espacio octogonal central por un casillero de forma rectangular y por tener tres plataformas las torres de las esquinas. (Fig. 5). Otro, procedente de Pallasca, es de planta ovalada y la distribución dual de los casilleros es perfectamente
simétrica (Fig. 6). Un tercero, que integra la colección del autor de la presente monografía, es de origen desconocido, pero debe proceder de algún lugar del Callejón de Huaylas; tiene las salientes prismáticas de los costados recortadas en ángulo en una de sus esquinas, como si se hubiese deseado trasladar la reproducción del signo escalonado, que en los aparatos de madera tipo Chordeleg está en el centro, a las aristas de
los torreones laterales. (Fig. 5). Este aspecto, que rompe la configuración cuadrada de las plataformas, da lugar también a que el piso de las dos primeras adquiera de una manera más pronunciada, la forma de una especie de mazo o martillo, particularidad que, como veremos más adelante, es la característica más notable de algunas caáillas de tableros del mismo tipo encontrados en Ica."
"Mayores diferencias se advierten en otros subtipos, originarios también del Callejón de Huaylas, de los cuales el mejor representante lo tenemos en el tablero que describió E. Nordenskióld en su obra Origen de las civilizaciones indígenas de América del Sur (Ibidem). Aquí los casilleros cuadrados están alineados a lo largo de los lados laterales de la tabla, mientras que los rectangulares se encuentran en su interior. Las dos torres, que son cuadradas y de una sola plataforma, están colocadas una a continuación de otra, en la parte superior, justamente encima de los dos casilleros rectangulares del centro; debajo de éstos se sitúa también otro compartimiento rectangular mucho más pequeño. (Fig. 7)."
"Otro subtipo, que hemos estudiado en el Museo de Arqueología de Lima, tiene casi todos los casilleros en forma de triángulo (en total 18) dispuestos alrededor del tablero, a excepción de un
lado en que está ubicada una torre rectangular de un solo piso y con tres compartimientos también triangulares. En la parte central hay cuatro casillas de forma cuadrada, dispuestas de dos en dos."
"Aunque el monumento que ocupa nuestra atención estuvo, evidentemente, distribuido por todo el territorio del Tahuantinsuyo, las noticias arqueológicas que por el momento poseemos se refieren solamente a ejemplares provenientes de la provincia de Cuenca en el Ecuador y de algunos lugares nórticos del Perú, en especial el departamento de Ancash."
"Por esta razón hemos decidido incluir en la presente monografía la descripción de los especímenes inéditos originarios de la región de lea, los cuales presentan, además, modalidades desconocidas y tienen la originalidad de haber sido trabajados en materiales que, como la arcilla y el hueso, aún no han sido señalados por la información arqueológica y, por lo que atañe el empleo del hueso, ni siquiera por las noticias de los cronistas. Ellos se encuentran en el Museo Regional de lea y han sido descubiertos en el yacimiento arqueológico de Carhua de la Bahía de la Independencia en la provincia de Pisco."
"El primero es de arcilla, de color marrón oscuro, y está asentado sobre una base igualmente de terracota, pero más tosca y de color más claro. Ha sido obtenido mediante el empleo del molde, lo que confirió exacta proporcionalidad y una orgánica distribución de los casilleros. Es de planta rectangular, de 47 x 32 cms., y tiene una altura de 5 cms., sinincluir la base. Los compartimientos de forma cuadrada son veintidós y los rectangulares tres; los cuadrados tienen una superficie que oscila entre los 4 y 5 cms. por cada lado; y los rectangulares 16 x 18 cms. la del casillero central y 21.5 x 5.5 cms. la de los laterales; su profundidad es de 1.5 cms. También aquí la disposición de los casilleros evidencia el propósito de presentar dos conjuntos, cada uno de diez compartimientos cuadrados y uno rectangular, situados en las partes laterales del tablero y separados por tres casilleros independientes, de los cuales dos son cuadrados y uno rectangular, ubicados en el centro.
No hay ningún indicio de existencia de torres en las esquinas. (Fig.
." "El segundo ejemplar iqueño es de hueso de cachalote, material empleado frecuentemente en la región para usos diversos, como la construcción de techos de tumbas, según indica J.C. Tello cuando trata de los hallazgos realizados en Paracas (Tello 1959). Su plano (32 x 23 cms.) es algo más reducido que el del ejemplar de arcilla y, en consecuencia, los casilleros son también más pequeños (3x3 cms. los cuadrados y 5 x 3 los rectangulares); en su disposición se ha seguido el mismo principio dual, o sea dos conjuntos de casilleros ubicados a ambos lados del tablero. Cada conjunto presenta doce casillas, de las cuales once son cuadradas y una en forma de mazo o martillo, tal como ocurre con la configuración de las bases de las plataformas de los torreones con esquinas recortadas en signo escalonado que hemos encontrado en otro artefacto de piedra del Callejón de Huaylas. Dichos casilleros "en martillo" son mucho más grandes que los tres rectangulares que se encuentran en el centro, separando los dos conjuntos laterales. (Fig. 9)."
"Al lado de estos tableros cuya principal característica es la forma cóncava de sus compartimientos
existen otros en que los casilleros están simplemente señalados con rayas incisas o dibujadas, o también mediante cuadritos de colores alternados muy parecidos a los que son propios de las tablas que se emplean actualmente para jugar ajedrez o a las damas. La representación del ajedrezado fue muy difundida en el antiguo Perú y llamó la atención de los españoles desde el instante mismo de su llegada al país, siendo precisamente los testigos de la captura de Atahuallpa los que describen los trajes de los acompañantes del inca como libreas con colores dispuestos a manera de escaques de tablero de ajedrez. Trajes semejantes los podemos admirar en las vitrinas de los museos o reproducidos en la figuración de la cerámica peruana de todas las épocas y estilos."
"Como ejemplo de tablero con casilleros señalados mediante rayas, podemos mencionar el que encontró Mas Uhle en una sepultura de Huancarcucho en el alto Ecuador (Uhle 1922 : 230). Tiene la forma de una pequeña loseta de 2,5 cm. de espesor y 8. 5 x 9 cm de superficie y representa grabados en una de sus caras. 10 casilleros distribuidos en triángulo escalerado; en una de las esquinas del lado superior hay cavado en la piedra, un platillo de 5 cm. de profundidad, separado del damero escalonado por un espacio con ornamentos constituidos por dos fajas con puntos y una tercera con motivos de ramas de árbol, (fig. 10)
"Delineamientos también incisos es otro ejemplar presentado por Olaf Holm en la Mesa Redonda de Arqueología de Guayaquil de 1057 y descrito en el ensayo titulado "Taptana o el ajedrez de Atahuallpa" (Holm 1958) Se trata igualmente de una loseta de piedra arenisca, pero de dimensiones mucho mayores que la de Uhle: 38 x 25 cm. De superficie por 7.5 cm de espesor. Su procedencia probable es el austro ecuatoriano. En la parte superior hay un platillo de 12 cm. de diámetro y un cm. de profundidad, cavado en la piedra. Inmediatamente debajo vienen dos campos formados por líneas incisas y diagonalmente opuestas: cada campo está constituido por nueve casilleros (3 x 3) y mide aproximadamente 9 cm. en cuadro."
"Como dijimos también en la alfarería el escaque sirvió de motivo para la decoración de las vasijas o de los trajes de los personajes en ellas figurados; en este caso cuando se trata de guerreros, significó las chapas o cin- j tas metálicas
que como blindaje protector, recubren las cusmas y los escudos. Sin embargo, a veces, el dibujo en cuadros o rectángulos, no está función de simple decoración o para señalar aspectos particulares del atuendo, sino cómo modalidad precisa de un verdadero artefacto en forma de tablero con escaques. De esta clase de representaciones nos limitaremos a señalar dos, que pertenecen a la cerámica mochica. La Primera de ellas es la escenografía de un huaco que Rafael Larco H. escogió para demostrar su tesis de la escritura sobre pallares (Larco 1939, T,II: lámina XXIII). En la escena aparecen individuos rodeados de pallares y en actitud de disponer sobre la arena algunas varillas que forman una especia de enrejado o damero cuya particularidad consistía, quizá, en su fácil confección y en la rapidez con que se podía desarmar. (Fig. 12). La segunda representación de tableros con escaques la encontramos en una vasija del Museo de arqueología de Lima que ha sido por L. Y Th. Engl (Engl 1967: lámina 15 p.200) La escena de este cántaro consiste en un desfile de personas que transportan con solemnidad un tablero de grandes proporciones, en cuya superficie están delineados veinte casilleros (5 x 4), de los cuales la mayoría tiene dos puntos en su extremidad superior. El individuo que carga el tablero está precedido por
dos guerreros ricamente ataviados y seguido por músicos y cargadores de trofeos que llevan estacas en cuyas _ cimas están clavadas cabezas humanas."
"El dibujo de este tablero es muy semejante, diríamos casi idéntico, al de una viñeta de la difundida crónica de Guarnan Poma de Ayala, aquella que ilustra la manera de contar de los antiguos quipo-camayos (Guarnan Poma 1936: 360)."
"Yupanas y Taptanas"
Aunque no es nuestra intención hacer un estudio que establezca analogías o diferencias entre la Yupana (centro de nuestro interés) y la Tapatana, consideramos que las explicaciones que nos da Radicati De Primeglio son más que suficientes.
"En relación con su uso, las tablas de escaques fueron interpretadas de tres maneras: como maquetas arquitectónicas, como yupanas o abacos y como taptanas o tablas empleadas en los juegos de azar, especialmente aquellos que se practicaban en cumplimiento de ciertos preceptos o ritos funerarios."
"La hipótesis de que fueron maquetas de edificios se planteó al conocerse el tablero de Chordeleg, porque a primera vista se tiene la impresión de que es la representación de una fortaleza, cuyas torres dominan un recinto plano con habitaciones cuadradas y oblongas, dispuestas una a continuación de otra. El primero que lanzó esta idea fue Adolfo Bastían (Bastían 1877), a quien siguió inmediatamente Federico Gonzáles Suárez (González 1878) al sostener que se trataría de la reproducción de todo un conjunto urbanístico, quizá el mismo pueblo de Choredeleg. Esta suposición dio lugar a que cuando se habla de este tablero se acostumbre denominarlo también "plano de Chordeleg.""
Con el tiempo la hipótesis arquitectónica fue prácticamente abandonada y se impuso más bien la creencia de que los tableros sirvieron para la realización de cálculo y fueron, por consiguiente, verdaderos contadores o abacos.
La tesis del abaco tuvo su mejor representante en Carlos Wiener, que planteó y desarrolló en ele relato de su viaje por el departamento de Ancash (Wiener 1877) y después, en su obra Perú y Bolivia (Wiener 1880). Fue en el pueblo de Huandoval, cerca de Caban y en la hacienda Urcon, siete leguas de Corongo, donde este viajero tuvo la oportunidad de examinar dos tableros de granito parecidos al de madera de Chordeleg, que habían sido encontrados en las ruinas de la población prehispánica'de Chucama y en la antigua apacheta del cerro Huauyan."
"Un relato tradicional, difundido en localidad y recogido probablemente de labios del cura de Huandobal, sugirió Wiener la idea de que estos aparatos debían haber servido para calcular los tributos que pagaban los ayllus de la zona "Según la leyenda, dice, en ellos fueron registradas, en otros tiempos, por medio de granos de diferentes colores, las contribuciones de todos los habitantes Huama-chuco, representando cada color una tribu especial".
En cuanto a la manera realizar cálculo, piensa que "los diferentes pisos de estas especies de depósitos tenían la particularidad de elevar al décuplo el valor del grano que allí se hallaba; de manera que un grano en una división indicaba un valor de contribución que podía ser el décuplo o céntuplo de aquél de otra división", Concluye expresando que, "en el Perú de ayer existía un cierto orden de cosas que se reflejaba en el libro mayor de la relación exacta del Debe y Haber"; concepto este que explicaría el dualismo de los casilleros y torres porque señala que, en un mismo tablero uno de los conjuntos de casilleros con su respectiva torre, servía para consignar el tributo que se debía pagar mientras que el otro conjunto situado en el lado opuesto, registraba la cantidad de trabajo a medida que se recaudaba."
"En cuanto a las fichas o marcas, se apuntaba lo de cada lado de la pisca con guijas que eran movidas dentro de los escaques del tablero. Sin embargo era muy frecuente el uso de fréjoles, generalmente redondos, de varios géneros y nombres y, más que todo, de diferentes colores. De ellos, los preferidos eran los llamados huairuros, lindísima semilla del huairo (Erythrina corallodendron)" (más conocido como "sirari" en la región oriental de Bolivia), "árbol que crece en las regiones cálidas de las vertientes orientales de los Andes. Parece que cuando el juego se realizaba con fichas de huairuros, la pisca que se empleaba era de mayor tamaño y el propósito del juego no era simplemente la distracción o la ganancia sino el cumplimiento de ciertos ritos o ceremonias funerarias. Al respecto González Holguín apunta en su diccionario que la palabra húairo significó el juego con este tipo de fréjoles sobre todo en el velorio de cadáveres" (González Holguín 1952); finalidad admitida por muchos cronistas que al comentar los actos ceremoniales anteriores al entierro, señalan como de gran importancia el juego de la pisca"
Interesante es observar que si se pone en relación el contenido mágico-religioso del juego de los huairuros con los motivos de decoración del tablero de Chordeleg, es preciso admitir que probablemente estuvo acertado Max Uhle al afirmar que las figuras de cabezas humanas que están distribuidas alrededor del tablero, representan las de los prisioneros de guerra que fueron decapitados por no haber tenido la suerte de ganar en el juego ceremonial del huairo que antecedió los sacrificios. Como dato significativo se puede agregar que el número de cabezas dibujadas es catorce, el cual coincide con el de la suma de los dos conjuntos de casilleros cuadrados (7 + 7) colocados a ambos lados del tablero. Esta opinión de Uhle queda, además, confirmada por la escenografía del cántaro mochica del Museo de Arqueología de Lima anteriormente descrito, en la que un tablero con escaques, llevado solemnemente en procesión, está escoltado por portadores de astas en cuyas cimas aparecen cabezas de trofeo."
"Para dar término a estas reflexiones sobre la taptana debemos considerar, por último, la posibilidad de que de ella haya derivado la yupana, suposición que coincide, en parte, con la tesis de Nordenskiold que señala como un paralelismo cultural entre el Viejo y el Nuevo Mundo la práctica de los juegos de fortuna con tablas para contar (Nordenskyóld 1931). Creemos que, después de haberse inventado y usado por cierto tiempo la tabla de juego, surgió la idea de que ella podía ser empleada también con fines contables. Esta creencia se basa principalmente en la similitud que, en cuanto forma, disposición y número de casilleros, existe entre el tablero de juego reproducido en el cántaro mochica y el auténtico abaco incaico dibujado y descrito por Guarnan Poma: similitud que ha sugerido a algunos autores, entre ellos L. Y Th. Engl, la suposición de que la escena del mencionado cántaro representa un cortejo que vuelve triunfante del combate, llevando la tabla de contar que sirvió para calcular y liquidar el botín de guerra o los tributos recaudados (Engl 1967 didascalia lam. 15). Otra razón favorable a nuestra manera de pensar es la natutral derivación que de la taptana a la yupana debió producirse cuando fue necesario facilitar el recuento de las cosas con la adopción de un sistema de cómputo más rápido y eficiente/'
"Es evidente que de todos los tipos de taptanas, el que mejor se presta para la finalidad contable es el más simple, o sea aquel formado por casillas del mismo tamaño, distribuidas uniformemente en sentido vertical y horizontal: en otros términos, un tablero que puede ser confeccionado fácilmente con rayas trazadas sobre una plancha de madera o representadas mediante esas famosas varillas dispuestas en enraejado que, de acuerdo con la interpretación de R. Larco Hoyle, sirvieron para descifrar los mensajes escritos sobre pallares (Larco 1939, Cap. V), o, según opinión de otros autores, representan taptanas donde los fréjoles eran empleados como fichas para señalar los tantos del juego (Vivante 1942)."
Corroborando un poco con R. L. Larco, podemos indicar J. F. Ve-larde en "Los Imperios Andinos" hace referencia que las inscripciones en los pallares ya era usadas por culturas inclusive anteriores a la de los incas. "Es altamente probable que conocieron , además un tipo de escritura ideográfica, perdido después de las convulsiones que azotaron la región. Esta conjetural descansa en el descubrimiento de unos vasos donde se ha dibujado, con suma claridad, la escritura, el correo, y la lectura o interpretación de pallares. Los arqueólogos han descubierto varias colecciones de pallares pintados. Pues, se supone que los puntitos o marcas indicaban determinadas cantidades según su respectiva aplicación, pero, hasta ahora no se ha logrado descifrarlos.
La figura que tenemos al lado es uno de los tableros parecido a una taptana que, aun hoy en día es usado por los Yao de Mozambique. Este tablero es de 4 x 8, pues, los hay de menos casillas circulares y, sólo es usado para jugar y no para realizar cálculos.
INDICE
Introducción
Consultando A Los Antecesores
El Quipu Una Base De Datos Aritméticos
Y Astronómicos
Quipus Contemporáneos
El Quipu Incaico
Descripción Del Quipu
Los Datos Y Su Representación En Los Nudos
Cromatismo Del Quipu
Cómo Hacer Un Quipu
La yupana 0 El Computador Incaico
¿Qué Significa yupana ?
Antiguos Tableros Con Escaques
yupanas Y Taptanas
Interpretando La yupana
BIBLIOGRAFIA
“YUPANCHIS” La matematica Inca y su incorporación a la clase
De Yonit Bousany
“ORIGEN DE LA MATEMTICA A TRAVEZ DEL TIEMPO”
De Zelma Wang Torrez
“LA INVESTIGACION EN TORNO AL SISTEMA DE CONTABILIAD INCAICO ESTADO ACTUAL Y PERSPECTIVA”
De Margarite E. Gentile L.
“PROYECTO YUPANA”
De Carlos A. Hernandez Garcia
“TALLER DE DIDACTICA DE LA MATEMATICA III”
De Constantina Jaldin Montaño
PARTICIPANTES:
David Gonzales Davalos
Hernan Abel Trujillo Arnez
