Índice
INTRODUCCIÓN
Cuando nos propusimos realizar el ensayo "Los quipus y la yupana en la Matemática" Nos hicimos una serie de preguntas entre las cuales teníamos la siguiente:
¿Cuál es la naturaleza del proceso de aprendizaje?
Hoy esta cuestión nos obliga a formular otra, que viene a ser copartícipe de esa preocupación:
¿Qué medios apropiados utilizamos para coadyuvar a ese proceso?
Posiblemente podríamos citar un sin número de elementos, a los que aleatoriamente les hemos llamado medios. Desde los más simples y baratos como pueden ser unos granos de maíz o porotos, hasta los más sofisticados como son las calculadoras de cualquier tamaño a las computadoras, o inclusive nuestra creatividad echando mano a experiencias circundantes. Sea lo que fuere, consideramos, que fuere, consideramos, que aun no estaríamos satisfechos, porque siempre nos preguntaríamos, ¿y antes cómo se efectuaba ese proceso de aprendizaje y qué medios se utilizaban?
En el intento de respondemos hemos realizado una búsqueda incesante, incansable, prolífica y sustancial iniciando con lo que contamos actualmente como es la tecnología de punta. La informática y sus aplicaciones mediante un viaje virtual a las bibliotecas, hasta llegar en forma retrospectiva, a los orígenes de la propia computadora, no, a aquella que se nos dicen que construyó el conocido inglés, Sr. Charles Babagge. Sino, mucho más atrás, no sólo en el tiempo mas también, en el espacio, indagando, a las culturas ancestrales de las que se pueda tener memoria escrita, como es la cultura prehispánica.
Y, ¿dónde ir para indagar?
Nos dirigimos a lo de nuestros grandes amigos. Los libros. Silentes mensajeros que guardan entre sus páginas informaciones tan valiosas que fueron colocadas por autores o cronistas de esa época antes citada, y otras posteriores, así como por investigadores de épocas recientes.
El presente ensayo lo realizamos con sólo dos fines primordiales, uno, como es obvio, el educativo y otro, el de tener una idea más clara de lo que era el "Quipu" su uso en el incario junto a la función de la "yupana" (contador y/o calculadora"), pero, ante todo fundamentar la razón de volver a usar o, poner en vigencia a la "yupana" incaica en nuestras escuelas, como el medio auxiliar más efectivo y económico para coadyuvar en el aprendizaje de la Matemática, partiendo de la Etnogeometría y la Etnomatemática de un modo integral y de la predisposición lúdica del aprendiz. Ésta es una de las razones por las que en el capítulo final tenemos variados ejemplos del uso y aplicación de la yupana con operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división.
Es muy posible que algún lector se pregunte y diga, cómo es que desde Santa Cruz, un lugar tan distante de la cuna preincaica y pre-hispánica se pretenda escribir sobre un elemento tan propio de la cultura andina?
Para responder a esa y otras preguntas que pudieran surgir, diremos que los valores culturales que permiten hacer ciencia, no tienen territorialidad o, no son un patrimonio petrificado, que no pueda ser difundido y/o actualizado, si ellos van a prestar un servicio también cultural a la propia humanidad que, día a día procura superación. Pero, si revisamos con detenimiento la propia historia, veremos que Santa Cruz también formaba parte del incario.
"£« una segunda expedición a las selvas orientales, el Sapa-Inca, repobló el valle de Cochabamba con familias quechuas procedentes del Cuzco y avanzó hasta Samaipata, donde fijó su frontera y dejó una guarnición acuartelada en una vieja fortaleza tiwanakota reconstruida. ("Los imperios Andinos" J. F. Velarde)
En lo que respecta al "Quipu", no pretendemos hacer un estudio riguroso de lo que era. Intentamos de modo general conocer su general conocer su origen, construcción, cromatismo, categorías, utilidad que prestó, pero, con la "yupana" incaica, si lo haremos, veremos su origen, su relación con el Quipu y la aplicación positiva que podemos darle en la actualidad.
En resumen diremos que, tres son los tópicos principales que abordaremos: una primera parte sobre la naturaleza del Quipu; la segunda, el estudio de la Yupana y tercera, su aplicación mediante ejemplos y ejercicios prácticos.
CONSULTANDO A LOS ANTECESORES.
Antes de todo y para evitar malos entendidos, parafraseamos, una expresión usada por un miembro de "Los amigos de la Egiptología", respecto a lo que. dicen catedráticos y alumnos de famosas universidades españolas para alentar, la búsqueda de la verdad:
"Si alguien copia un libro es un plagio, pero si copia o consulta varios libros es una investigación". .
Luego, consideramos que hemos hecho una investigación, consultamos y/o consultaremos todas las fuentes posibles, entre las que destacan, la elaborada por cronistas de la estirpe del nativo Guarnan o Huamán Poma y/o del soldado hispano Cieza de León, sin desmerecer a otros prolíficos autores contemporáneos y modernos cuya lista es larga, amen de la propia bibliografía de los consultados, a quienes no los citamos expresamente ahora por no cometer omisiones involuntarias.
En ese intento nos sumergimos en ese viaje al pasado para in-cursionar en el campo de la Etnociencia, procurando sustanciar una vez más, que para hacer Etnomatemática, según nuestro entender necesariamente deberíamos por lo menos pensar lo menos pensar primero en la Etno-geometría sin ánimo de sobreponerla tal como ya lo explicamos en el trabajo ya publicado: "Etnogeometría para la Etnomatemática".
En esta empresa, no nos imaginamos que, cada vez haríamos un recorrido retrospectivo, más y más apasionante hacia lugares de la Historia preincaica y prehispánica (literalmente hablando), visitando esas culturas antiguas que habían alcanzado un alto grado de desarrollo, como demuestran las propias ruinas de Tiwanaku en las que, pese al tiempo transcurrido, nos admiran sus colosales trabajos de arquitectura e ingeniería, o las de Machu Picchu, en cuyo lugar sus habitantes hicieron una labor de alta escuela, construyendo templos, palacios, terrazas o andenes con una perfecta distribución de canales de riego, distribución que, sólo con la Teoría de redes de Konisberg, se podría resolver en su estructuración matemática. Aun hoy en día con toda la tecnología, no sería fácil realizar semejantes trabajos de hidráulica, así como los serpenteantes caminos entre las montañas que parecen conducirnos hasta el cielo los que:
"En su gran mayoría eran empedrados, su ancho variaba entre 1.50 a 4 m. Se elevaban cerca de un metro sobre el nivel del terreno estaban limitados por pretiles y construidos con sentido de "rectitud direccional" procurando unir dos puntos dados por su menor distancia y superando los obstáculos en vez de evitarlos. (J. F. Velarde 130.1977)
Tales muestras, además nos indican que esos constructores tenían conocimientos básicos de geometría y seguramente algún bienes guardados ".
Si dijimos más antes, que no se conocía una moneda de pago, eso no implica que, ante la ausencia de la misma, se debía poseer algún rudimento de contabilidad o medios que permitieran verificar circunstancialmente los acopios o distribución de cada cosecha, entrega o distribución de esa producción, inclusive sobre los tributos que el pueblo debía aportar al soberano y, cuando no tenían con que tributar debido a sequias u otras razones; inclusive los tributos lo hacían con sus piojos, y eso se debía contabilizar con algo, mas ese aporte aunque sea simbólico y de esa naturaleza, era devuelto en semillas para que el nativo sembrara y no siguiera sin sus alimentos básicos; por tanto consideramos que el gráfico de la página 360 de la "Cronica de Huamán Poma, es un indicador, que posteriormente lo estudiaremos en detalle, pero, por ahora Valdivia nos corrobora:
" Una prueba de la exactitud de la contabilidad realizada en los Tam-pus (tambos), ya fuesen ellos del Estado o de los grandes señores andinos, fueron los quipus presentados por los curacas de Hartun Jauja ante la real audiencia de los reyes en 1561. La precisión de los conocimientos de los naturales y la facilidad con que leían los nudos de los quipus, hizo que fuesen aceptados en la información de los Curacas.''
"Las cantidades mencionadas fueron expuestas en medidas castellanas (no podía ser de otro modo dada la imposición del idioma del avasallador peninsular que llegó peninsular que llegó con lengua, costumbres y experiencias traídas del viejo mundo), pero se conservó el orden de los objetos enumerados según las categorías andinas. A pesar de la quiebra de las instituciones nativas (para los alienados: indigenas) a la llegada de los españoles, se siguieron manejando los quipus, anudando las salidas y también los ingresos a los depósitos."
Por los documentos a los que hemos tenido acceso incluyendo a los de Huamán Poma, Pedro Cieza de León o Garcilaso de la Vega, nos podemos enterar de la forma de vida en el incario.
Y, las escrituras de Cieza posiblemente sean en las que se pueda acreditar con mayor confianza. Pues, hay razones valederas para ello. Cieza llegó a territorio incaico sólo con quince años después de iniciado el asalto a Q’aja-Marca, a la que eufemisticamente le llaman conquista. Cieza tenía entonces 29 años cuando inicio su caminata por el territorio avasallado como un soldado común y son sus postreras jornadas las más marcantes, que se inician allá por el 1547, cuando él recorrer los caminos norteños, casi por los extremos de lo que era el Imperio Incaico. Según sus propios comentarios, esos caminos eran superiores a los caminos romanos, por los que, cuando él era muchacho, había caminado en su terruño español. Se dio cuenta que, las cosas eran diferentes con las que él ya conocía. Aún hoy, pese, a los más de cinco siglos que han pasado, lo podemos comprender lo que Cieza sentía al realizar las comparaciones y darse cuenta del lugar en el que se encontraba. Pues escribió:
"Este territorio y el resto de Las Indias están a muchas leguas de España y hay muchos mares de por medio "
Él tuvo que ver y observar cosas que otros, que le siguieron, no pueden haber visto y, él conversó con personas que eran adultos en el apogeo del poderío incaico. Además, Cieza es un interlocutor capaz. Con un rico vocabulario, y una habilidad propia de él, con una narrativa concisa, para que el lector menos avisado pudiera entenderle. Por ejemplo veamos lo que él dice: '''dondequiera que el español ha pasado, ha conquistado y ha descubierto, es como si un fuego hubiera ido y había destruido todo él pasó". ¿Cabe alguna explicación más para dar testimonio de las fechorías de sus coterráneos?
Mucha de la información que nos da Cieza, mayormente proviene casi exclusivamente de la que, también él recibió de los burócratas depuestos de la administración incaica. Y, de eso nos damos cuenta, al leerlo; los burócratas eran un grupo humano especial y numéricamente pequeño comparado con toda la población conquistada y que según algunas estimaciones eran entre tres y cinco millones de personas.
Seguramente, el lector se preguntará, ¿y qué, de Huamán Poma, no es confiable?
Pues sí, es confiable y mucho, pero hay escritores que aferrados a su modo de pensar occidental que, se creen los únicos creen los únicos dueños de la verdad, han tratado de crear un cerco de descrédito alrededor de Huamán Poma y aun se atreven a decir que se lo debe leer con lupa.
Si bien no encontramos la rica prosa de Cieza o la de los otros escritores contemporáneos o, posteriores a Huamán Poma, que en su "Nueua Coránica ", él lo hizo con muchas ilustraciones de representación concreta y aunque lo hace con un castellano mezclado con Quechua, eso no le quita fidelidad a la crónica. Y, lo que más vale y siempre tendrá un valor intrínseco, son justamente esos gráficos que hablan por sí solos, más que muchas floridas explicaciones.
APOLOGISTAS Y DETRACTORES DE GUAMÁN POMA
Parece ser que en esta vida quien no se expresa bajo los cánones del pensamiento occidental o el pensamiento dominante, está condenado a ganarse detractores gratuitos. Cualquier ser humano que lea los documentos que hemos consultado y no sólo los de Guarnan Poma, también otros, quedará maravillado ante el coraje que tuvieron esos cronistas de colocar en el papel sus observaciones y experiencias, para que generaciones venideras se informaran de esa realidad ajena a la nuestra y lo que es más, cómo hicieron ese trabajo en condiciones en las que debían preparase su propia tinta y construir su propia pluma.
Uno de esos exaltados detractores es Raúl Porras Barrenechea, quien califica con dureza al cronista Poma, pero sin embargo no le queda otro camino que admitir lo valioso de su empeño, pues, dice:
"Es mérito que un nativo (indio para los alienados) de su tiempo con escasa y confusa cultura, pero su viva intuición, abordara la hazaña intelectual de escribir una crónica. Pero esto no puede llevarnos a divinizar todos sus yerros, inepcias e inexactitudes. (Porras 1948:57).
- Nosotros nos preguntamos. ¿El ser "indio" (lease nativo) le quita capacidad intelectiva o lo hace un inútil? ¿Pide Huamán Poma que lo deifiquen para que se viertan expresiones de esa naturaleza? Y agrega que
"Huamán Poma lejos de ser un erudito, yerra a cada paso en las noticias más sencillas y divulgadas sobre hechos cercanos del Incario o de la conquista ocurridos en vida de sus padres o en la suya misma... (ibid).
Otro émulo de Porras es Francisco Esteve Barba en el "Estudio Preliminar" "A las Crónicas Peruanas de Interés Indígena", dice que
"El mismo lo ha embrollado todo a causa de una mentalidad oscura, confusa y orgulloso... de una naturaleza llena de complejos y de un idioma mixto a veces arbitrario" (Esteve 1968: LXI), Y en cuanto a la expresión gráfica, que para nosotros tiene especial interés:
"Lo que más llama la atención en el manuscrito es su copiosa ilustración de dibujos a pluma sin color, a toda plana, trazados por una mano primitiva pero segura, llena de una graciosa ingenuidad. La denominación indígena de determinados objetos queda explicada mejor que por una descripción, por la imagen por la imagen más o menos hábilmente conseguida del objeto mismo" (Esteve 1968: LXHI)
Como se ve, es otro a quien no le cae bien Poma, pero, sin embargo, tiene que reconocer, los gráficos informan mejor que las palabras, para justificar su opinión de que
"el gran defecto de Huamán Poma es su incultura o lo que es peor su semi-incultura".
Porras cita a Poma cuando habla éste habla de sí mismo:
" ...la rudeza de riti ingenio y ciegos ojos y poco ver y poco saber y no ser letrado ni doctor ni licenciado ni latino (ibid)
Estamos en los incios del Siglo XXI y hay mucha gente por ahí que aun no se da cuenta de ese detalle que, para sentirse persona no es necesario poseer un título académico y Huamán Poma lo hizo notar hace mas 500 años atrás.
Pero no todo es negativo dice Porras, ya que:
"La primera parte de la crónica contiene, aun en el desorden chachara repeticionista del indio viejo noticias folklóricas de gran interés sobre . los ídolos y las huacas, los sacrificios y los ritos, los hechiceros, las abusiones, las procesiones, el ayuno, el entierro este sentido una cantera magnífica" (Porras 1948:42).
Y algo que tiene especial interés para nosotros:
"El instinto estadístico de los quipucamqyos antiguos, asoma por debajo de la indumentaria española de Huamán Poma y se une a su propensión tintirillesca de influencia colonial. " (Porras 1948:54).
Las opiniones tan adversas opiniones tan adversas de Porras y otros, no han dejado de generar una corriente contraria. No todos concuerdan con él, pues, hay otros autores como Nathan Wachtel que en su libro Sociedad e Ideología hace la apología del cronista y de su crónica, pues, para él:
"La obra de Huamán Poma constituye una fuente prodigiosa de información sobre el mundo indígena (léase nativo) antes y después de la conquista. " (Nachtel 1973:65) Y, ante las acusaciones de inexactitud o vaguedad señala que:
"La crónica de Guarnan Poma no es confusa sino en la medida en que la juzgamos a partir de nuestro criterio occidental...(Wachtel 1973:167)
Mediante, los comentarios adversos o favorables y lo que hemos leído sobre Huamán Poma, podemos formarnos una idea de la personalidad que lo caracterizaba, la misma que nos ayuda a guiar nuestra o observación sobre los documentos referidos a nuestro trabajo. Luego, consideramos que nuestro nativo cronista, si bien no era un letrado universitario, como él mismo lo reconoce y su cultura intelectual parecía poca, era un observador innato e intuitivo, digno de ser imitado y admirado y que, además, supo trasmitirnos con claridad sus observaciones, pero, es visto con un poco de menos precio por nuestro entender alienado,
"...fantaseador a veces, ávido de hacerse valer, con hábito indagatorio y con "instinto estadístico " que puede explicar su interés en elementos de registro y cálculo como son el Quipu y la yupana. "
Si por registrar lo que registrar lo que ya conocemos se le da endilga toda clase de adjetivos. ¿Qué le hubieran dicho si Huamán Poma hubiera escrito lo que Ciesa dijo: "dondequiera que el español ha pasado, ha conquistado y ha descubierto, es como si un fuego hubiera ido y había destruido todo al pasó"! Mejor ni imaginarnos, pues, nos da escalofríos.
Aquí cabe preguntarnos, ¿hay o no, otros cronistas nativos de la talla de Huamán Poma, que nos hayan legado un material tan proficuo como el suyo, que inclusive sirva para dar oportunidad de salir a la palestra a sus detractores?
La respuesta la tiene la misma historia, pues, la mejor muestra es la que nosotros en las postrimerías del siglo XX cuando escribimos y aun hoy en la presente seguimos nutriéndonos de esos manuscritos.
EL QUIPU UNA BASE DE DATOS ARITMÉTICOS Y ASTRONÓMICOS
"Si el objetivo final de quienes exploran en el campo de la arqueoastronomía es el conocimiento de los patrones mentales vigentes en el pasado vale decir el conocimiento de las antiguas formas de observación del mundo natural y de las maneras de estructurar nuevos sucesos dentro de esa cosmología sistemática, entonces el estudio del Quipu peruano es definitivamente un valioso objetivo de exploración...."
"...Los quipus permanecen indescifrados en cuanto o a su contenido; pero su estructura, su gramática y su sintaxis matemática pueden ser claramente percibidas... " (WilliamJ. Conklin)
Tal como leemos el fragmento anterior. Consideramos que W. J. Conklin no J. Conklin no podía ser más oportuno en su comentario sobre el "Quipu" denotando no sólo, la aplicación matemática que todos los estudiosos tradicionalmente le dieron mas, también lo relacionado a la observación de la cosmología que los habitantes del Imperio avasallado realizaban. .
En este capítulo intentaremos tener una idea somera de lo que es el "Quipu" en general sin determinar su territorialidad, pero tomando en cuenta su temporalidad y sus características principales, pues, está demostrado por investigadores como el matrimonio Ascher, los autores de "Mathematics of the Incas - Code of the Quipu" (y muchos otros más de quienes no tenemos conocimiento), que hay variantes según una región u otra, pero en esencia la función del "Quipu" siempre fue la misma, guardar información relativa a todas las actividades de la comunidad o comarca. Tampoco, intentaremos describir las distintas clases que existen, pues, reiteramos no pretendemos hacer un estudio riguroso de lo que era el "Quipu". Nuestra intención de modo general es conocer su origen, construcción, cromatismo, categorías, utilidad que prestó, y su respectiva relación con la "Yupana", y la aplicación positiva que podemos darle a ella en la actualidad, para retomar el camino de la Etnomatemática a la que está direccionado el estudio de la "Yupana" fundamentalmente.
Quipu en Quechua quiere decir nudo, de modo particular fue usado en el incario para nombrar a las cuerdas anudadas, cuya función o utilidad era la de servir como fichas mnemotécnicas. El gráfico que tenemos al que tenemos al lado es una muestra de un Quipu de tamaño moderado.
Entre las primeras referencias que se tienen de los quipus, son las que se usaron ampliamente para registrar datos, información censal, acontecimientos históricos, depósito de tesoros, acontecimientos relacionados con la astronomía, como leímos en el fragmento introductorio y quien sabe hasta para asuntos legales.
Observando, este dibujo del "Astrólogo" del siglo XVI podemos notar que, en el mismo hay explicación gráfica, relacionando la astronomía con los quipus. En la parte superior izquierda vemos el dibujo del sol apareciendo en el horizonte, que en este caso está determinado por las montañas y en el lado derecho a la misma altura y con las mismas características, la representación de la luna. Inclusive pareciera que hay un observatorio en la montaña en la que, se presenta el sol. Esos dibujos de esa época coinciden casi exclusivamente con los quipus encontrados en las tumbas de los antiguos habitantes de las regiones comprendidas en territorio peruano. El texto que contiene el dibujo escrito por G. Pomadice:
"Y nuestro astrólogo-poeta que sabe de la relación del Sol, y del eclipse de la luna, de las estrellas y de los cometas, de las horas, los domingos, los meses del año y de los cuatro vientos del mundo y del tiempo de sembrar las semillas para el alimento, desde tiempo inmemorial.
QUIPUS CONTEMPORÁNEOS
Siguiendo ese camino inicial retrospectivo, no obstante encontrarnos en las postrimerías de este siglo de este siglo y antes de analizar lo que eran los quipus del incario, podemos aun ver que, las cuerdas anudadas se usan todavía como instrumentos mnemotécnicos en algunos los poblados nativos (indígenas para los alienados), generalmente para contar animales y productos de cosecha. Tal el caso de las comunidades Chijiphina y Cocotani en la Provincia Omasuyos del Departamento de la Paz (Bolivia), continúan haciendo cuentas de sus llamas y ovejas con cordones de colores diferentes, dando valores convencionales. GráfI.
En el caso de contar sus animales por cientos hacen un nudo y dejan un espacio en el cordón (jalti). Esto debido a que las unidades no son tomadas en cuenta cuando pasan de 100 llamas u ovejas tal como ilustra el Gráf. 2.
El Gráf. 3. Es una muestra de la representación de 339 unidades, que bien podían haber sido llamas, ovejas, u otras especies, inclusive personas, en el supuesto caso reunir personas para un determinado trabajo agrícola en el Ayllu.
El Gráf. 4. Denota el registro de una sumato-ria en la que intervienen unidades, decenas y centenas, Consideramos que, en la época precolombina el "Quipu" igual que en las comunidades antes citadas, tuvo los mismos usos y funciones.
EL QUIPU INCAICO
"Aproximadamente 500 quipus sobrevivieron a la caída del Imperio Incaico, dispersos en diversos museos del mundo." De ellos, unos 400 ha sido estudiados por los esposos Ascher.
Además de los investigadores ya citados, también tenemos a Fedorova y Kuzmichev Fedorova y Kuzmichev de la Academia de Ciencias de la URSS. Quienes se han preocupado por descifrar el contenido de los quipus. Kuzmishev no concuerda con Garcilaso de La vega, sobre la base del sistema de numeración utilizado en los quipus. Según Garcilaso de la Vega el sistema Incaico era decimal, que en los quipus, las decenas, centenas, etc., se colocaban de abajo hacia arriba en orden ascendente.
"Estas contradicciones se dan porque el sistema matemático andino precolombino NO ES DECIMAL, sino que está estructurado de tal forma que cada ocho operaciones las cantidades se duplican de abajo hacia arriba, por esta misma razón en los quipus el número de espiras rara vez pasa de nueve"
"Administrativamente, para los fines del tributo y la leva, los “hatun-runas” fueron clasificados en grupos de diez individuos dirigidos por un “chunca.camayu” (encargado de diez personas) que era a la vez, su jefe inmediato y el responsable por ellos ante los superiores. Cinco de estos grupos obedecían a un “pichca-chunca-camayu” (encargado de cincuenta individuos. Dos de estos dependían de un “pachaj camayu” (cien) y diez era un “waranca-camayu” o sea diez mil individuos, de un hunu-camayu (millón). Cuatro hunu-camayu, por último a un tucrituc..." "Los conquistadores hallaron ayllus a los que se habían quitado o agregado elementos para complementar un número decimal. La realidad de la aritmética, sin embargo, acabó por triunfar y la decimalización persistió solamente para fines administrativos, para fines administrativos, aunque todo su vigor, fue impuesta al ejército" "Su organización era decimal" (J. F. Velarde -122/ 1977)
Aunque nuestro objetivo no es verificar la aserción o error de los cronistas, tomamos estas notas para hacer ver la enorme importancia que los quipus han tenido en la cultura precolombina y aun después del genocidio realizado por los avasalladores hispanos.
"Sin embargo el Quipu precolombino permanece indescifrado, en gran parte, porque casi todos los cordones han perdido sus colores originales que de un modo u otro le daban su real significado. "
"El aporte más importante para la comprensión de los quipus sigue siendo el de Leland Loche, quien en 1912 demostró que los quipus por él estudiados mostraban que su contenido no era lenguaje sino información de naturaleza puramente numérica. También descubrió que en ellos se usaba un sistema decimal, de naturaleza posicional, y que tuvieron el concepto de cero. Desde entonces, usando el descubrimiento de Locke, se han hecho varios y notables esfuerzos para relacionar los números que pueden leerse en los nudos con el conocimiento calendári\co y astronómico, debiendo mencionarse especialmente los trabajos de Nordenskióld en 1925 y de Doy en 1967. Sin embargo, tales esfuerzos parecen no haber convencido a muchos investigadores en razón de que las "demostraciones " consisten, por lo general, en seleccionar y ordenar cuidadosamente una parte de la información numérica, tanto la astronómica como la de los quipus, para obtener determinadas concordancias, dejando sin explicación dejando sin explicación la parte restante que es la mayor. "
Los pobladores del Tawantinsuyo (Las Cuatro Regiones) emplearon sistemas de medición y de contabilidad que, no eran inferiores a los usados en Europa Medieval. En el ordenamiento demográfico crearon una división poblacional basada en un cómputo decimal que facilitaba un conocimiento aproximado del número de habitantes por regiones. Al norte Chincha-Suyo , al este, Anti-Suyo, al Sur, Kolla-Suyo, y al oeste, Conti-Suyo lo que, en el pensamiento occidentalizado, quien sabe sería apenas la región norteña, sureña, etc. Regiones que a su vez tenían provincias llamadas hu-manus, integradas por las distintas markas, o sea "ciudades que fueron planificadas con sentido global, ¡o que ha dado motivo a algunos arqueólogos para calificar como "Urbanística" (J.F. Velar de 90)
La cuenta del tiempo transcurrido ha tenido que basarse en referencias de prácticas empíricas, como ser la observación del año solar (Inti), el lunar (Quilla) y/o el de los acontecimientos importantes como los referidos para fines agrícolas de siembra, cosecha y festivos, p. ej.: la fiesta del Inti Raymi. Es decir que con "...los conocimientos heredados de los tiwanakotas por vía de la tradición amauta - medían el año, conocían los meses, los solsticios, los equinoccios y algunas constelaciones principales — aunque su técnica para calcular el tiempo, de atenerse a las evidencias arqueológicas , era diferente. Lo hacían guiándose por la dimensión y el ángulo de la sombra, proyectados por el sol por el sol en pilares de piedra levantados a propósito y llamados inthiwuatanas o "amarraderos del sol",.."
"Una de las características de las culturas andinas fue una clasificación poblacional de acuerdo con los ciclos vitales de las personas y no en el cómputo de años transcurridos; es decir, eran culturas preparadas no sólo para contabilizar la infinidad de depósitos escalonados a lo largo y ancho del imperio sino también con estructuras socio-políticas cuyas finalidades convergían hacia una organización de las fuerzas de producción y de trabajo para el Estado"
Esos registros eran realizados en "Los quipus, que "eran llevados
por partida doble. Uno quedaba en poder de la autoridad subalterna bajo cuya responsabilidad era levantado y su copia iba al Cuzco, donde se guardaba una suerte de registro central para que el 'Sapa-Inca o la autoridades superiores, tuvieran a la mano un cuadro completo hasta sus últimos detalles, del estado del imperio. Los funcionarios locales debían dar cuenta estadística. Por otra parte cada año se hacía un nuevo censo total para mantener al día ese cuadro".
El manejo de los quipus "se hallaba reservada a un tipo especial de funcionarios, los quipucamayos'
En todo lo que hemos leído hasta ahora, no hemos encontrado alguna pista que nos sugiera que los quipus eran utilizados para realizar operaciones aritméticas, por tanto podemos inferir que su utilidad radicaba fundamentalmente en el registro de datos numéricos y de acontecimientos importantes (según algún autor) razón por lo razón por lo que se les dio el nombre de "fichas mnemotécnicas".
DESCRIPCIÓN DEL QUIPU
Entre las características observadas en el Quipu se tiene las siguientes:
a) Una cuerda gruesa de aproximadamente unos 10 cm a 3 m. Cada cuerda de esta clase, tiene sus dos puntas terminadas en nudos con pequeños flecos a continuación de uno de ellos.
b) En forma transversal van unidas a esta cuerda gruesa, otras más delgadas cuya longitud en algunas ocasiones llega a unos 50 cm. El número de estas cuerdas colgantes puede ser desde una a cien o más dependiendo de la cantidad de datos. Su colocación con respecto al cordón principal puede estar direccionada, hacia abajo o hacia arriba de modo opuesto al mismo tiempo.
Las cuerdas colgantes se encuentran repartidas a lo largo de todo el cordón una a continuación de otra separadas" por pequeños espacios o distancias, a veces formando grupos distanciados o unos más cercanos de otros.
Esas cuerdas colgantes son de distintos colores; unas de un solo color y otras de dos.
c) Las cuerdas colgantes tiene otras secundarias que pueden variar de longitud y valor de acuerdo al color. Su colocación con respecto de las principales se halla a diversas distancias de la transversal.
d) Los nudos se confeccionan con la misma cuerda, sea esta colgante o subsidiaria. Están colocados a diversa distancia de la transversal. algunos de ellos son simples. dobles, compuestos o a medio hacer. El nudo a El nudo a medio hacer es el que se encuentra generalmente al final y no encierra a otros nudos.
Los datos y su representación en los nudos.
Cualesquiera que sea la cuerda colgante, superior, subsidiaria o colgante extrema en ella se realizan los nudos citados en el inciso d), cada grupo de nudos representan dígitos, por tanto se puede interpretar que cada cuerda contiene el registro de un dato que representa uno ó más dígitos.
Las unidades tienen un tipo de nudo diferente a los otros, pues es un nudo compuesto y además están en la parte inferior de la cuerda.
Los nudos de una cuerda pueden representar uno o varios números en el sistema posicional de base 10, pues, tienen un ordenamiento de en grupos de diez. O sea, el 322 equivale a 300 + 20 + 2, dicho de otro modo equivale a la representación por descomposición polinómica. También, en una misma cuerda pueden estar dos distintos números, tal el caso del "Quipu sumatoria" en cuya primera cuerda colgante se tienen los números 31 y 22. Para una cuerda que contiene más de dos números, la única exigencia está en que ella debe ser más larga, según los requerimientos de uso o almacenamiento de datos.
Un aspecto importante que debemos tomar en cuenta es que, el cero es un número virtual, pues ocupa una posición a la que podemos llamar "nada" veamos la cuerda que contiene al 30, sólo vemos tres nudos, pero, por la posición que ocupan y por una convención que asumimos en la interpretación determinamos que esos nudos equivalen a 3 decenas.
Otro ejemplo podemos obtener en la cuerda que contiene al 209. Sólo vemos los dos nudos que están cerca del cordón principal y nueve en la parte inferior, luego una vez más vemos que, el cero, o la "nada" está representada con la ausencia de un nudo o un grupo de nudos en el lugar que correspondería a las decenas.
Un aspecto muy importante que debemos tomar en cuenta es que el "quipucamayo" apenas tomado el Quipu y desplegado podía leer o saber de inmediato el valor que guardaba o representaba el Quipu en cuestión, le era suficiente observar la cuerda superior, pues, ella es la "cuerda resumen" de todos los datos que el Quipu
contiene. Si, un Quipu tiene cuerdas subsidiarías la cuerda resumen también posee su "cuerda subsidiaria resumen". Cuando decimos apenas desplegado, queremos significar que, la forma de guardar un Quipu con los datos ya registrados se asemeja mucho, a un quita polvos casero hecho de cordones gruesos de algodón, como la figura a). En tanto
que el de la figura b), tiene el parecido con un limpiador de pisos cuya flecadura queda envuelta cual si fuera un pepino,
Esa forma de guardar los quipus, al parecer era para facilitar su transporte y/o almacenamiento, pues, como ya lo indicamos debían ser hechos por partida doble, por partida doble, quedando, una con el "Quipu-camayo" y la otra era enviada al jefe superior o funcionario público más importante, ya sea de la marca o, alguna repartición del incario.
Los dos gráficos que aquí tenemos son más que elocuentes para mostrarnos, no sólo, el tamaño que podía alcanzar un Quipu, más también de los encargados de manejar y custodiarlos.
Cuando nos propusimos realizar el ensayo "Los quipus y la yupana en la Matemática" Nos hicimos una serie de preguntas entre las cuales teníamos la siguiente:
¿Cuál es la naturaleza del proceso de aprendizaje?
Hoy esta cuestión nos obliga a formular otra, que viene a ser copartícipe de esa preocupación:
¿Qué medios apropiados utilizamos para coadyuvar a ese proceso?
Posiblemente podríamos citar un sin número de elementos, a los que aleatoriamente les hemos llamado medios. Desde los más simples y baratos como pueden ser unos granos de maíz o porotos, hasta los más sofisticados como son las calculadoras de cualquier tamaño a las computadoras, o inclusive nuestra creatividad echando mano a experiencias circundantes. Sea lo que fuere, consideramos, que fuere, consideramos, que aun no estaríamos satisfechos, porque siempre nos preguntaríamos, ¿y antes cómo se efectuaba ese proceso de aprendizaje y qué medios se utilizaban?
En el intento de respondemos hemos realizado una búsqueda incesante, incansable, prolífica y sustancial iniciando con lo que contamos actualmente como es la tecnología de punta. La informática y sus aplicaciones mediante un viaje virtual a las bibliotecas, hasta llegar en forma retrospectiva, a los orígenes de la propia computadora, no, a aquella que se nos dicen que construyó el conocido inglés, Sr. Charles Babagge. Sino, mucho más atrás, no sólo en el tiempo mas también, en el espacio, indagando, a las culturas ancestrales de las que se pueda tener memoria escrita, como es la cultura prehispánica.
Y, ¿dónde ir para indagar?
Nos dirigimos a lo de nuestros grandes amigos. Los libros. Silentes mensajeros que guardan entre sus páginas informaciones tan valiosas que fueron colocadas por autores o cronistas de esa época antes citada, y otras posteriores, así como por investigadores de épocas recientes.
El presente ensayo lo realizamos con sólo dos fines primordiales, uno, como es obvio, el educativo y otro, el de tener una idea más clara de lo que era el "Quipu" su uso en el incario junto a la función de la "yupana" (contador y/o calculadora"), pero, ante todo fundamentar la razón de volver a usar o, poner en vigencia a la "yupana" incaica en nuestras escuelas, como el medio auxiliar más efectivo y económico para coadyuvar en el aprendizaje de la Matemática, partiendo de la Etnogeometría y la Etnomatemática de un modo integral y de la predisposición lúdica del aprendiz. Ésta es una de las razones por las que en el capítulo final tenemos variados ejemplos del uso y aplicación de la yupana con operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división.
Es muy posible que algún lector se pregunte y diga, cómo es que desde Santa Cruz, un lugar tan distante de la cuna preincaica y pre-hispánica se pretenda escribir sobre un elemento tan propio de la cultura andina?
Para responder a esa y otras preguntas que pudieran surgir, diremos que los valores culturales que permiten hacer ciencia, no tienen territorialidad o, no son un patrimonio petrificado, que no pueda ser difundido y/o actualizado, si ellos van a prestar un servicio también cultural a la propia humanidad que, día a día procura superación. Pero, si revisamos con detenimiento la propia historia, veremos que Santa Cruz también formaba parte del incario.
"£« una segunda expedición a las selvas orientales, el Sapa-Inca, repobló el valle de Cochabamba con familias quechuas procedentes del Cuzco y avanzó hasta Samaipata, donde fijó su frontera y dejó una guarnición acuartelada en una vieja fortaleza tiwanakota reconstruida. ("Los imperios Andinos" J. F. Velarde)
En lo que respecta al "Quipu", no pretendemos hacer un estudio riguroso de lo que era. Intentamos de modo general conocer su general conocer su origen, construcción, cromatismo, categorías, utilidad que prestó, pero, con la "yupana" incaica, si lo haremos, veremos su origen, su relación con el Quipu y la aplicación positiva que podemos darle en la actualidad.
En resumen diremos que, tres son los tópicos principales que abordaremos: una primera parte sobre la naturaleza del Quipu; la segunda, el estudio de la Yupana y tercera, su aplicación mediante ejemplos y ejercicios prácticos.
CONSULTANDO A LOS ANTECESORES.
Antes de todo y para evitar malos entendidos, parafraseamos, una expresión usada por un miembro de "Los amigos de la Egiptología", respecto a lo que. dicen catedráticos y alumnos de famosas universidades españolas para alentar, la búsqueda de la verdad:
"Si alguien copia un libro es un plagio, pero si copia o consulta varios libros es una investigación". .
Luego, consideramos que hemos hecho una investigación, consultamos y/o consultaremos todas las fuentes posibles, entre las que destacan, la elaborada por cronistas de la estirpe del nativo Guarnan o Huamán Poma y/o del soldado hispano Cieza de León, sin desmerecer a otros prolíficos autores contemporáneos y modernos cuya lista es larga, amen de la propia bibliografía de los consultados, a quienes no los citamos expresamente ahora por no cometer omisiones involuntarias.
En ese intento nos sumergimos en ese viaje al pasado para in-cursionar en el campo de la Etnociencia, procurando sustanciar una vez más, que para hacer Etnomatemática, según nuestro entender necesariamente deberíamos por lo menos pensar lo menos pensar primero en la Etno-geometría sin ánimo de sobreponerla tal como ya lo explicamos en el trabajo ya publicado: "Etnogeometría para la Etnomatemática".
En esta empresa, no nos imaginamos que, cada vez haríamos un recorrido retrospectivo, más y más apasionante hacia lugares de la Historia preincaica y prehispánica (literalmente hablando), visitando esas culturas antiguas que habían alcanzado un alto grado de desarrollo, como demuestran las propias ruinas de Tiwanaku en las que, pese al tiempo transcurrido, nos admiran sus colosales trabajos de arquitectura e ingeniería, o las de Machu Picchu, en cuyo lugar sus habitantes hicieron una labor de alta escuela, construyendo templos, palacios, terrazas o andenes con una perfecta distribución de canales de riego, distribución que, sólo con la Teoría de redes de Konisberg, se podría resolver en su estructuración matemática. Aun hoy en día con toda la tecnología, no sería fácil realizar semejantes trabajos de hidráulica, así como los serpenteantes caminos entre las montañas que parecen conducirnos hasta el cielo los que:
"En su gran mayoría eran empedrados, su ancho variaba entre 1.50 a 4 m. Se elevaban cerca de un metro sobre el nivel del terreno estaban limitados por pretiles y construidos con sentido de "rectitud direccional" procurando unir dos puntos dados por su menor distancia y superando los obstáculos en vez de evitarlos. (J. F. Velarde 130.1977)
Tales muestras, además nos indican que esos constructores tenían conocimientos básicos de geometría y seguramente algún bienes guardados ".
Si dijimos más antes, que no se conocía una moneda de pago, eso no implica que, ante la ausencia de la misma, se debía poseer algún rudimento de contabilidad o medios que permitieran verificar circunstancialmente los acopios o distribución de cada cosecha, entrega o distribución de esa producción, inclusive sobre los tributos que el pueblo debía aportar al soberano y, cuando no tenían con que tributar debido a sequias u otras razones; inclusive los tributos lo hacían con sus piojos, y eso se debía contabilizar con algo, mas ese aporte aunque sea simbólico y de esa naturaleza, era devuelto en semillas para que el nativo sembrara y no siguiera sin sus alimentos básicos; por tanto consideramos que el gráfico de la página 360 de la "Cronica de Huamán Poma, es un indicador, que posteriormente lo estudiaremos en detalle, pero, por ahora Valdivia nos corrobora:
" Una prueba de la exactitud de la contabilidad realizada en los Tam-pus (tambos), ya fuesen ellos del Estado o de los grandes señores andinos, fueron los quipus presentados por los curacas de Hartun Jauja ante la real audiencia de los reyes en 1561. La precisión de los conocimientos de los naturales y la facilidad con que leían los nudos de los quipus, hizo que fuesen aceptados en la información de los Curacas.''
"Las cantidades mencionadas fueron expuestas en medidas castellanas (no podía ser de otro modo dada la imposición del idioma del avasallador peninsular que llegó peninsular que llegó con lengua, costumbres y experiencias traídas del viejo mundo), pero se conservó el orden de los objetos enumerados según las categorías andinas. A pesar de la quiebra de las instituciones nativas (para los alienados: indigenas) a la llegada de los españoles, se siguieron manejando los quipus, anudando las salidas y también los ingresos a los depósitos."
Por los documentos a los que hemos tenido acceso incluyendo a los de Huamán Poma, Pedro Cieza de León o Garcilaso de la Vega, nos podemos enterar de la forma de vida en el incario.
Y, las escrituras de Cieza posiblemente sean en las que se pueda acreditar con mayor confianza. Pues, hay razones valederas para ello. Cieza llegó a territorio incaico sólo con quince años después de iniciado el asalto a Q’aja-Marca, a la que eufemisticamente le llaman conquista. Cieza tenía entonces 29 años cuando inicio su caminata por el territorio avasallado como un soldado común y son sus postreras jornadas las más marcantes, que se inician allá por el 1547, cuando él recorrer los caminos norteños, casi por los extremos de lo que era el Imperio Incaico. Según sus propios comentarios, esos caminos eran superiores a los caminos romanos, por los que, cuando él era muchacho, había caminado en su terruño español. Se dio cuenta que, las cosas eran diferentes con las que él ya conocía. Aún hoy, pese, a los más de cinco siglos que han pasado, lo podemos comprender lo que Cieza sentía al realizar las comparaciones y darse cuenta del lugar en el que se encontraba. Pues escribió:
"Este territorio y el resto de Las Indias están a muchas leguas de España y hay muchos mares de por medio "
Él tuvo que ver y observar cosas que otros, que le siguieron, no pueden haber visto y, él conversó con personas que eran adultos en el apogeo del poderío incaico. Además, Cieza es un interlocutor capaz. Con un rico vocabulario, y una habilidad propia de él, con una narrativa concisa, para que el lector menos avisado pudiera entenderle. Por ejemplo veamos lo que él dice: '''dondequiera que el español ha pasado, ha conquistado y ha descubierto, es como si un fuego hubiera ido y había destruido todo él pasó". ¿Cabe alguna explicación más para dar testimonio de las fechorías de sus coterráneos?
Mucha de la información que nos da Cieza, mayormente proviene casi exclusivamente de la que, también él recibió de los burócratas depuestos de la administración incaica. Y, de eso nos damos cuenta, al leerlo; los burócratas eran un grupo humano especial y numéricamente pequeño comparado con toda la población conquistada y que según algunas estimaciones eran entre tres y cinco millones de personas.
Seguramente, el lector se preguntará, ¿y qué, de Huamán Poma, no es confiable?
Pues sí, es confiable y mucho, pero hay escritores que aferrados a su modo de pensar occidental que, se creen los únicos creen los únicos dueños de la verdad, han tratado de crear un cerco de descrédito alrededor de Huamán Poma y aun se atreven a decir que se lo debe leer con lupa.
Si bien no encontramos la rica prosa de Cieza o la de los otros escritores contemporáneos o, posteriores a Huamán Poma, que en su "Nueua Coránica ", él lo hizo con muchas ilustraciones de representación concreta y aunque lo hace con un castellano mezclado con Quechua, eso no le quita fidelidad a la crónica. Y, lo que más vale y siempre tendrá un valor intrínseco, son justamente esos gráficos que hablan por sí solos, más que muchas floridas explicaciones.
APOLOGISTAS Y DETRACTORES DE GUAMÁN POMA
Parece ser que en esta vida quien no se expresa bajo los cánones del pensamiento occidental o el pensamiento dominante, está condenado a ganarse detractores gratuitos. Cualquier ser humano que lea los documentos que hemos consultado y no sólo los de Guarnan Poma, también otros, quedará maravillado ante el coraje que tuvieron esos cronistas de colocar en el papel sus observaciones y experiencias, para que generaciones venideras se informaran de esa realidad ajena a la nuestra y lo que es más, cómo hicieron ese trabajo en condiciones en las que debían preparase su propia tinta y construir su propia pluma.
Uno de esos exaltados detractores es Raúl Porras Barrenechea, quien califica con dureza al cronista Poma, pero sin embargo no le queda otro camino que admitir lo valioso de su empeño, pues, dice:
"Es mérito que un nativo (indio para los alienados) de su tiempo con escasa y confusa cultura, pero su viva intuición, abordara la hazaña intelectual de escribir una crónica. Pero esto no puede llevarnos a divinizar todos sus yerros, inepcias e inexactitudes. (Porras 1948:57).
- Nosotros nos preguntamos. ¿El ser "indio" (lease nativo) le quita capacidad intelectiva o lo hace un inútil? ¿Pide Huamán Poma que lo deifiquen para que se viertan expresiones de esa naturaleza? Y agrega que
"Huamán Poma lejos de ser un erudito, yerra a cada paso en las noticias más sencillas y divulgadas sobre hechos cercanos del Incario o de la conquista ocurridos en vida de sus padres o en la suya misma... (ibid).
Otro émulo de Porras es Francisco Esteve Barba en el "Estudio Preliminar" "A las Crónicas Peruanas de Interés Indígena", dice que
"El mismo lo ha embrollado todo a causa de una mentalidad oscura, confusa y orgulloso... de una naturaleza llena de complejos y de un idioma mixto a veces arbitrario" (Esteve 1968: LXI), Y en cuanto a la expresión gráfica, que para nosotros tiene especial interés:
"Lo que más llama la atención en el manuscrito es su copiosa ilustración de dibujos a pluma sin color, a toda plana, trazados por una mano primitiva pero segura, llena de una graciosa ingenuidad. La denominación indígena de determinados objetos queda explicada mejor que por una descripción, por la imagen por la imagen más o menos hábilmente conseguida del objeto mismo" (Esteve 1968: LXHI)
Como se ve, es otro a quien no le cae bien Poma, pero, sin embargo, tiene que reconocer, los gráficos informan mejor que las palabras, para justificar su opinión de que
"el gran defecto de Huamán Poma es su incultura o lo que es peor su semi-incultura".
Porras cita a Poma cuando habla éste habla de sí mismo:
" ...la rudeza de riti ingenio y ciegos ojos y poco ver y poco saber y no ser letrado ni doctor ni licenciado ni latino (ibid)
Estamos en los incios del Siglo XXI y hay mucha gente por ahí que aun no se da cuenta de ese detalle que, para sentirse persona no es necesario poseer un título académico y Huamán Poma lo hizo notar hace mas 500 años atrás.
Pero no todo es negativo dice Porras, ya que:
"La primera parte de la crónica contiene, aun en el desorden chachara repeticionista del indio viejo noticias folklóricas de gran interés sobre . los ídolos y las huacas, los sacrificios y los ritos, los hechiceros, las abusiones, las procesiones, el ayuno, el entierro este sentido una cantera magnífica" (Porras 1948:42).
Y algo que tiene especial interés para nosotros:
"El instinto estadístico de los quipucamqyos antiguos, asoma por debajo de la indumentaria española de Huamán Poma y se une a su propensión tintirillesca de influencia colonial. " (Porras 1948:54).
Las opiniones tan adversas opiniones tan adversas de Porras y otros, no han dejado de generar una corriente contraria. No todos concuerdan con él, pues, hay otros autores como Nathan Wachtel que en su libro Sociedad e Ideología hace la apología del cronista y de su crónica, pues, para él:
"La obra de Huamán Poma constituye una fuente prodigiosa de información sobre el mundo indígena (léase nativo) antes y después de la conquista. " (Nachtel 1973:65) Y, ante las acusaciones de inexactitud o vaguedad señala que:
"La crónica de Guarnan Poma no es confusa sino en la medida en que la juzgamos a partir de nuestro criterio occidental...(Wachtel 1973:167)
Mediante, los comentarios adversos o favorables y lo que hemos leído sobre Huamán Poma, podemos formarnos una idea de la personalidad que lo caracterizaba, la misma que nos ayuda a guiar nuestra o observación sobre los documentos referidos a nuestro trabajo. Luego, consideramos que nuestro nativo cronista, si bien no era un letrado universitario, como él mismo lo reconoce y su cultura intelectual parecía poca, era un observador innato e intuitivo, digno de ser imitado y admirado y que, además, supo trasmitirnos con claridad sus observaciones, pero, es visto con un poco de menos precio por nuestro entender alienado,
"...fantaseador a veces, ávido de hacerse valer, con hábito indagatorio y con "instinto estadístico " que puede explicar su interés en elementos de registro y cálculo como son el Quipu y la yupana. "
Si por registrar lo que registrar lo que ya conocemos se le da endilga toda clase de adjetivos. ¿Qué le hubieran dicho si Huamán Poma hubiera escrito lo que Ciesa dijo: "dondequiera que el español ha pasado, ha conquistado y ha descubierto, es como si un fuego hubiera ido y había destruido todo al pasó"! Mejor ni imaginarnos, pues, nos da escalofríos.
Aquí cabe preguntarnos, ¿hay o no, otros cronistas nativos de la talla de Huamán Poma, que nos hayan legado un material tan proficuo como el suyo, que inclusive sirva para dar oportunidad de salir a la palestra a sus detractores?
La respuesta la tiene la misma historia, pues, la mejor muestra es la que nosotros en las postrimerías del siglo XX cuando escribimos y aun hoy en la presente seguimos nutriéndonos de esos manuscritos.
EL QUIPU UNA BASE DE DATOS ARITMÉTICOS Y ASTRONÓMICOS
"Si el objetivo final de quienes exploran en el campo de la arqueoastronomía es el conocimiento de los patrones mentales vigentes en el pasado vale decir el conocimiento de las antiguas formas de observación del mundo natural y de las maneras de estructurar nuevos sucesos dentro de esa cosmología sistemática, entonces el estudio del Quipu peruano es definitivamente un valioso objetivo de exploración...."
"...Los quipus permanecen indescifrados en cuanto o a su contenido; pero su estructura, su gramática y su sintaxis matemática pueden ser claramente percibidas... " (WilliamJ. Conklin)
Tal como leemos el fragmento anterior. Consideramos que W. J. Conklin no J. Conklin no podía ser más oportuno en su comentario sobre el "Quipu" denotando no sólo, la aplicación matemática que todos los estudiosos tradicionalmente le dieron mas, también lo relacionado a la observación de la cosmología que los habitantes del Imperio avasallado realizaban. .
En este capítulo intentaremos tener una idea somera de lo que es el "Quipu" en general sin determinar su territorialidad, pero tomando en cuenta su temporalidad y sus características principales, pues, está demostrado por investigadores como el matrimonio Ascher, los autores de "Mathematics of the Incas - Code of the Quipu" (y muchos otros más de quienes no tenemos conocimiento), que hay variantes según una región u otra, pero en esencia la función del "Quipu" siempre fue la misma, guardar información relativa a todas las actividades de la comunidad o comarca. Tampoco, intentaremos describir las distintas clases que existen, pues, reiteramos no pretendemos hacer un estudio riguroso de lo que era el "Quipu". Nuestra intención de modo general es conocer su origen, construcción, cromatismo, categorías, utilidad que prestó, y su respectiva relación con la "Yupana", y la aplicación positiva que podemos darle a ella en la actualidad, para retomar el camino de la Etnomatemática a la que está direccionado el estudio de la "Yupana" fundamentalmente.
Quipu en Quechua quiere decir nudo, de modo particular fue usado en el incario para nombrar a las cuerdas anudadas, cuya función o utilidad era la de servir como fichas mnemotécnicas. El gráfico que tenemos al que tenemos al lado es una muestra de un Quipu de tamaño moderado.
Entre las primeras referencias que se tienen de los quipus, son las que se usaron ampliamente para registrar datos, información censal, acontecimientos históricos, depósito de tesoros, acontecimientos relacionados con la astronomía, como leímos en el fragmento introductorio y quien sabe hasta para asuntos legales.
Observando, este dibujo del "Astrólogo" del siglo XVI podemos notar que, en el mismo hay explicación gráfica, relacionando la astronomía con los quipus. En la parte superior izquierda vemos el dibujo del sol apareciendo en el horizonte, que en este caso está determinado por las montañas y en el lado derecho a la misma altura y con las mismas características, la representación de la luna. Inclusive pareciera que hay un observatorio en la montaña en la que, se presenta el sol. Esos dibujos de esa época coinciden casi exclusivamente con los quipus encontrados en las tumbas de los antiguos habitantes de las regiones comprendidas en territorio peruano. El texto que contiene el dibujo escrito por G. Pomadice:
"Y nuestro astrólogo-poeta que sabe de la relación del Sol, y del eclipse de la luna, de las estrellas y de los cometas, de las horas, los domingos, los meses del año y de los cuatro vientos del mundo y del tiempo de sembrar las semillas para el alimento, desde tiempo inmemorial.
QUIPUS CONTEMPORÁNEOS
Siguiendo ese camino inicial retrospectivo, no obstante encontrarnos en las postrimerías de este siglo de este siglo y antes de analizar lo que eran los quipus del incario, podemos aun ver que, las cuerdas anudadas se usan todavía como instrumentos mnemotécnicos en algunos los poblados nativos (indígenas para los alienados), generalmente para contar animales y productos de cosecha. Tal el caso de las comunidades Chijiphina y Cocotani en la Provincia Omasuyos del Departamento de la Paz (Bolivia), continúan haciendo cuentas de sus llamas y ovejas con cordones de colores diferentes, dando valores convencionales. GráfI.
En el caso de contar sus animales por cientos hacen un nudo y dejan un espacio en el cordón (jalti). Esto debido a que las unidades no son tomadas en cuenta cuando pasan de 100 llamas u ovejas tal como ilustra el Gráf. 2.
El Gráf. 3. Es una muestra de la representación de 339 unidades, que bien podían haber sido llamas, ovejas, u otras especies, inclusive personas, en el supuesto caso reunir personas para un determinado trabajo agrícola en el Ayllu.
El Gráf. 4. Denota el registro de una sumato-ria en la que intervienen unidades, decenas y centenas, Consideramos que, en la época precolombina el "Quipu" igual que en las comunidades antes citadas, tuvo los mismos usos y funciones.
EL QUIPU INCAICO
"Aproximadamente 500 quipus sobrevivieron a la caída del Imperio Incaico, dispersos en diversos museos del mundo." De ellos, unos 400 ha sido estudiados por los esposos Ascher.
Además de los investigadores ya citados, también tenemos a Fedorova y Kuzmichev Fedorova y Kuzmichev de la Academia de Ciencias de la URSS. Quienes se han preocupado por descifrar el contenido de los quipus. Kuzmishev no concuerda con Garcilaso de La vega, sobre la base del sistema de numeración utilizado en los quipus. Según Garcilaso de la Vega el sistema Incaico era decimal, que en los quipus, las decenas, centenas, etc., se colocaban de abajo hacia arriba en orden ascendente.
"Estas contradicciones se dan porque el sistema matemático andino precolombino NO ES DECIMAL, sino que está estructurado de tal forma que cada ocho operaciones las cantidades se duplican de abajo hacia arriba, por esta misma razón en los quipus el número de espiras rara vez pasa de nueve"
"Administrativamente, para los fines del tributo y la leva, los “hatun-runas” fueron clasificados en grupos de diez individuos dirigidos por un “chunca.camayu” (encargado de diez personas) que era a la vez, su jefe inmediato y el responsable por ellos ante los superiores. Cinco de estos grupos obedecían a un “pichca-chunca-camayu” (encargado de cincuenta individuos. Dos de estos dependían de un “pachaj camayu” (cien) y diez era un “waranca-camayu” o sea diez mil individuos, de un hunu-camayu (millón). Cuatro hunu-camayu, por último a un tucrituc..." "Los conquistadores hallaron ayllus a los que se habían quitado o agregado elementos para complementar un número decimal. La realidad de la aritmética, sin embargo, acabó por triunfar y la decimalización persistió solamente para fines administrativos, para fines administrativos, aunque todo su vigor, fue impuesta al ejército" "Su organización era decimal" (J. F. Velarde -122/ 1977)
Aunque nuestro objetivo no es verificar la aserción o error de los cronistas, tomamos estas notas para hacer ver la enorme importancia que los quipus han tenido en la cultura precolombina y aun después del genocidio realizado por los avasalladores hispanos.
"Sin embargo el Quipu precolombino permanece indescifrado, en gran parte, porque casi todos los cordones han perdido sus colores originales que de un modo u otro le daban su real significado. "
"El aporte más importante para la comprensión de los quipus sigue siendo el de Leland Loche, quien en 1912 demostró que los quipus por él estudiados mostraban que su contenido no era lenguaje sino información de naturaleza puramente numérica. También descubrió que en ellos se usaba un sistema decimal, de naturaleza posicional, y que tuvieron el concepto de cero. Desde entonces, usando el descubrimiento de Locke, se han hecho varios y notables esfuerzos para relacionar los números que pueden leerse en los nudos con el conocimiento calendári\co y astronómico, debiendo mencionarse especialmente los trabajos de Nordenskióld en 1925 y de Doy en 1967. Sin embargo, tales esfuerzos parecen no haber convencido a muchos investigadores en razón de que las "demostraciones " consisten, por lo general, en seleccionar y ordenar cuidadosamente una parte de la información numérica, tanto la astronómica como la de los quipus, para obtener determinadas concordancias, dejando sin explicación dejando sin explicación la parte restante que es la mayor. "
Los pobladores del Tawantinsuyo (Las Cuatro Regiones) emplearon sistemas de medición y de contabilidad que, no eran inferiores a los usados en Europa Medieval. En el ordenamiento demográfico crearon una división poblacional basada en un cómputo decimal que facilitaba un conocimiento aproximado del número de habitantes por regiones. Al norte Chincha-Suyo , al este, Anti-Suyo, al Sur, Kolla-Suyo, y al oeste, Conti-Suyo lo que, en el pensamiento occidentalizado, quien sabe sería apenas la región norteña, sureña, etc. Regiones que a su vez tenían provincias llamadas hu-manus, integradas por las distintas markas, o sea "ciudades que fueron planificadas con sentido global, ¡o que ha dado motivo a algunos arqueólogos para calificar como "Urbanística" (J.F. Velar de 90)
La cuenta del tiempo transcurrido ha tenido que basarse en referencias de prácticas empíricas, como ser la observación del año solar (Inti), el lunar (Quilla) y/o el de los acontecimientos importantes como los referidos para fines agrícolas de siembra, cosecha y festivos, p. ej.: la fiesta del Inti Raymi. Es decir que con "...los conocimientos heredados de los tiwanakotas por vía de la tradición amauta - medían el año, conocían los meses, los solsticios, los equinoccios y algunas constelaciones principales — aunque su técnica para calcular el tiempo, de atenerse a las evidencias arqueológicas , era diferente. Lo hacían guiándose por la dimensión y el ángulo de la sombra, proyectados por el sol por el sol en pilares de piedra levantados a propósito y llamados inthiwuatanas o "amarraderos del sol",.."
"Una de las características de las culturas andinas fue una clasificación poblacional de acuerdo con los ciclos vitales de las personas y no en el cómputo de años transcurridos; es decir, eran culturas preparadas no sólo para contabilizar la infinidad de depósitos escalonados a lo largo y ancho del imperio sino también con estructuras socio-políticas cuyas finalidades convergían hacia una organización de las fuerzas de producción y de trabajo para el Estado"
Esos registros eran realizados en "Los quipus, que "eran llevados
por partida doble. Uno quedaba en poder de la autoridad subalterna bajo cuya responsabilidad era levantado y su copia iba al Cuzco, donde se guardaba una suerte de registro central para que el 'Sapa-Inca o la autoridades superiores, tuvieran a la mano un cuadro completo hasta sus últimos detalles, del estado del imperio. Los funcionarios locales debían dar cuenta estadística. Por otra parte cada año se hacía un nuevo censo total para mantener al día ese cuadro".
El manejo de los quipus "se hallaba reservada a un tipo especial de funcionarios, los quipucamayos'
En todo lo que hemos leído hasta ahora, no hemos encontrado alguna pista que nos sugiera que los quipus eran utilizados para realizar operaciones aritméticas, por tanto podemos inferir que su utilidad radicaba fundamentalmente en el registro de datos numéricos y de acontecimientos importantes (según algún autor) razón por lo razón por lo que se les dio el nombre de "fichas mnemotécnicas".
DESCRIPCIÓN DEL QUIPU
Entre las características observadas en el Quipu se tiene las siguientes:
a) Una cuerda gruesa de aproximadamente unos 10 cm a 3 m. Cada cuerda de esta clase, tiene sus dos puntas terminadas en nudos con pequeños flecos a continuación de uno de ellos.
b) En forma transversal van unidas a esta cuerda gruesa, otras más delgadas cuya longitud en algunas ocasiones llega a unos 50 cm. El número de estas cuerdas colgantes puede ser desde una a cien o más dependiendo de la cantidad de datos. Su colocación con respecto al cordón principal puede estar direccionada, hacia abajo o hacia arriba de modo opuesto al mismo tiempo.
Las cuerdas colgantes se encuentran repartidas a lo largo de todo el cordón una a continuación de otra separadas" por pequeños espacios o distancias, a veces formando grupos distanciados o unos más cercanos de otros.
Esas cuerdas colgantes son de distintos colores; unas de un solo color y otras de dos.
c) Las cuerdas colgantes tiene otras secundarias que pueden variar de longitud y valor de acuerdo al color. Su colocación con respecto de las principales se halla a diversas distancias de la transversal.
d) Los nudos se confeccionan con la misma cuerda, sea esta colgante o subsidiaria. Están colocados a diversa distancia de la transversal. algunos de ellos son simples. dobles, compuestos o a medio hacer. El nudo a El nudo a medio hacer es el que se encuentra generalmente al final y no encierra a otros nudos.
Los datos y su representación en los nudos.
Cualesquiera que sea la cuerda colgante, superior, subsidiaria o colgante extrema en ella se realizan los nudos citados en el inciso d), cada grupo de nudos representan dígitos, por tanto se puede interpretar que cada cuerda contiene el registro de un dato que representa uno ó más dígitos.
Las unidades tienen un tipo de nudo diferente a los otros, pues es un nudo compuesto y además están en la parte inferior de la cuerda.
Los nudos de una cuerda pueden representar uno o varios números en el sistema posicional de base 10, pues, tienen un ordenamiento de en grupos de diez. O sea, el 322 equivale a 300 + 20 + 2, dicho de otro modo equivale a la representación por descomposición polinómica. También, en una misma cuerda pueden estar dos distintos números, tal el caso del "Quipu sumatoria" en cuya primera cuerda colgante se tienen los números 31 y 22. Para una cuerda que contiene más de dos números, la única exigencia está en que ella debe ser más larga, según los requerimientos de uso o almacenamiento de datos.
Un aspecto importante que debemos tomar en cuenta es que, el cero es un número virtual, pues ocupa una posición a la que podemos llamar "nada" veamos la cuerda que contiene al 30, sólo vemos tres nudos, pero, por la posición que ocupan y por una convención que asumimos en la interpretación determinamos que esos nudos equivalen a 3 decenas.
Otro ejemplo podemos obtener en la cuerda que contiene al 209. Sólo vemos los dos nudos que están cerca del cordón principal y nueve en la parte inferior, luego una vez más vemos que, el cero, o la "nada" está representada con la ausencia de un nudo o un grupo de nudos en el lugar que correspondería a las decenas.
Un aspecto muy importante que debemos tomar en cuenta es que el "quipucamayo" apenas tomado el Quipu y desplegado podía leer o saber de inmediato el valor que guardaba o representaba el Quipu en cuestión, le era suficiente observar la cuerda superior, pues, ella es la "cuerda resumen" de todos los datos que el Quipu
contiene. Si, un Quipu tiene cuerdas subsidiarías la cuerda resumen también posee su "cuerda subsidiaria resumen". Cuando decimos apenas desplegado, queremos significar que, la forma de guardar un Quipu con los datos ya registrados se asemeja mucho, a un quita polvos casero hecho de cordones gruesos de algodón, como la figura a). En tanto
que el de la figura b), tiene el parecido con un limpiador de pisos cuya flecadura queda envuelta cual si fuera un pepino,
Esa forma de guardar los quipus, al parecer era para facilitar su transporte y/o almacenamiento, pues, como ya lo indicamos debían ser hechos por partida doble, por partida doble, quedando, una con el "Quipu-camayo" y la otra era enviada al jefe superior o funcionario público más importante, ya sea de la marca o, alguna repartición del incario.
Los dos gráficos que aquí tenemos son más que elocuentes para mostrarnos, no sólo, el tamaño que podía alcanzar un Quipu, más también de los encargados de manejar y custodiarlos.
