teórica de la propuesta
La enseñanza del Cálculo y del análisis ha pasado por cambios a lo largo de los últimos años. Estos cambios dejan una variedad de enfoques que han considerado los fundamentos de la matemática como principios rectores de la enseñanza de los conceptos claves que necesariamente
requieren de los infinitesimales para su abordaje (límite, continuidad, entre otros). Diversos autores han analizado este componente pedagógico, algunos a nivel global como Tall (1981, 1992) y otros a nivel local como Artigue (2000) y Cantoral y Farfán (2000). Sin querer jerarquizar ni fragmentar los componentes del triángulo didáctico mencionados en la introducción, comenzaré por el pedagógico.Los enfoques en la enseñanza del Cálculo: lo pedagógico
Para Tall (1992), el Cálculo tiene una variedad de significados en diferentes países, en los que se ha trabajado con dos enfoques diferentes: el enfoque infinitesimal (basado
en el análisis no estándar) y el de Cálculos con o sin programación (tales enfoques fueron detallados por Tall en 1981). Por tanto, los enfoques según Tall, van desde un Cálculo informal que gira alrededor de las ideas informales
de razón de cambio y de los roles de la diferenciación e integración como procesos inversos, Cálculo de áreas, volúmenes
y aplicaciones de las integrales, hasta un Cálculo formal que gira alrededor de la idea de completitud de la definición ε - δ de límite (Weierstrass), de continuidad, diferenciación, integrales de Riemann y deducciones formales
de teoremas tales como el teorema del Valor Medio y el teorema Fundamental del Cálculo.
Estos diferentes significados, según Tall, son los que han generado las dificultades que se reseñaron en los párrafos precedentes. Sin embargo considera el enfoque dinámico de límite, como el más adecuado para que el estudiante
se inicie en el Cálculo.
Tall (1981) considera seis enfoques diferentes que se han dado a la enseñanza del Cálculo en diferentes países: (a) el antiguo método infinitesimal intuitivo de Leibniz, donde los infinitesimales son considerados cantidades; (b) el método dinámico de límite, muy similar al anterior pero ahora los infinitesimales son considerados funciones; (c) el método numérico, donde la derivada puede calcularse
para un valor específico de x, el infinitesimal es visto como el valor numérico de una variable; (d) el método del dibujo en el ordenador, este enfoque muestra que parte de la gráfica no puede distinguirse de una línea recta; específicamente,
la tangente a la curva en x, no puede diferenciarse
de la gráfica en sí misma. El infinitesimal es visto como un indivisible; (e) el método épsilon-delta, especifica
a qué distancia debe estar el cociente de f ’(x), es decir, [f(x + h) – f(x)] / h para calcular la próxima distancia a la que debe estar h de cero; el infinitesimal es desterrado del Cálculo; y (f) el método infinitesimal, este método sigue al de Leibniz pero usando la lógica moderna. Tall resumen estos enfoques de la manera siguiente:
Todas las consideraciones que se han tenido acerca de cada uno de los enfoques, se deben lógicamente a la forma
anticuada en que se da el Cálculo en la escuela, y propone
que esta forma de Cálculo, debidamente interpretada,
es matemáticamente correcta y constituye la mejor base para iniciarse en el Cálculo. (Tall, 1981: p.16).
Por otra parte, Artigue hace la misma distinción de Tall. Reseña la evolución de los contenidos del Cálculo, desde 1902 hasta la última reforma de 1982, pero sólo en Francia. Artigue al remontarse a 1902, señala cómo en
Carmen María Valdivé Fernández: Los infinitesimales en el cálculo: un punto de vista sistémico.
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esa época hubo una introducción generalizada del Análisis,
basada en la enseñanza intuitiva (sin el uso de los infinitesimales del Cálculo diferencial e integral) considerándolo
un Cálculo estándar. En 1960, según Artigue, el estructuralismo se vuelve dominante, el enfoque de los conceptos función, límite y continuidad se hace a través del uso de los cuantificadores. El análisis se vuelve formal y teórico.
Al comienzo de la década de los 80, se estudia la matemática como una ciencia construida, dependiendo de los contextos históricos y culturales. A raíz de esto último, la comisión inter IREM de 1981 enuncia una serie de proposiciones
donde conceden prioridad a la enseñanza bajo un Cálculo informal- intuitivo, volviendo central la noción
de derivada y casi haciendo desaparecer la noción de continuidad. Este Cálculo se vuelve un campo donde los procesos de aproximación desempeñan un papel esencial.
A raíz de los acontecimientos a nivel mundial descritos
(Artigue, 2000; Tall, 1992) y al analizar los enfoques de la enseñanza formal e informal del Cálculo, surge en Latinoamérica (en 1982) una nueva perspectiva que incorpora
los cuatro componentes de la construcción del conocimiento: su naturaleza epistemológica, su dimensión
sociocultural, los planos cognitivos y los modos de transmisión de la enseñanza a nivel superior (Cantoral y Farfán, 2000).
El enfoque teórico latinoamericano incorpora, como ejemplo, un modelo genérico de enseñanza universitaria basada en la noción de predicción de los fenómenos, apoyada
en el binomio de Newton. Este modelo toma como centro del diseño de instrucción, las nociones de curva y analiticidad. Le sirve de soporte el objeto matemático, serie
de Taylor (Cantoral, 2001). Sin embargo, este modelo genérico sería insuficiente para abordar temas complejos que no se ubiquen en la matemática aplicada.
En síntesis, la variedad de enfoques en las diferentes épocas ha dejado una serie de dificultades en la comprensión
por parte de los estudiantes, de los conceptos claves del Cálculo, conceptos que según los principios básicos de la enseñanza fueron considerados los organizadores del Análisis:
(a) Cálculo alrededor del infinitesimal y la diferencial (sin los infinitesimales) dejando un análisis empírico y pragmático,
(b) Cálculo alrededor de los conceptos de función, límite y continuidad, dejando un análisis teórico y formal y (c) Cálculo con enfoque intuitivo haciendo énfasis en los procesos de variación, optimización y aproximación.
Ante la panorámica analizada sobre algunos enfoques,
es necesario evocar los aportes que ha dado Tall, en cuanto a la enseñanza y aprendizaje de algunas nociones complejas del Cálculo y que se deben considerar a la hora de decidir el más adecuado.
Tall (1991) hace referencia a la enseñanza de los conceptos complejos del Cálculo. Indica el autor que en la enseñanza con adolescentes se debe poner énfasis en el proceso de síntesis, pues éste se inicia con el ejercicio de la intuición, fase en la que el estudiante reúne ideas y que posteriormente, a nivel universitario, la enseñanza debe estar enfocada hacia el análisis. El estudiante con ayuda del profesor debe organizar las nuevas ideas en forma lógica
y posteriormente refinarlas para dar deducciones y argumentaciones exactas.
Como se puede observar, paralelamente al problema pedagógico se atiende a la problemática de la naturaleza
de los conceptos matemáticos en función de los fundamentos
de la matemática y, por tanto, cómo debían ser aprendidos por los alumnos. Se analiza a continuación, la problemática desde los componentes cognitivo, epistémico
y sociocultural.Una teoría psicología del aprendizajede la matemática: lo cognitivo
Para abordar la problemática Tall (1981, 1991, 1994, 1995) y Artigue (2000) entre otros, resumen las dificultades
que presentan los estudiantes al enfrentarse al campo conceptual del Análisis Matemático, detectadas a través de investigaciones empíricas. Artigue, al dar una visión de lo que se refiere a los procesos de aprendizaje en ese campo conceptual, muestra que las dificultades se pueden ubicar según tres categorías: (a) Las ligadas a la complejidad
de los objetos, (b) las ligadas a la conceptualización de la noción de límite y (c) a la necesaria ruptura con modos
de pensamiento característicos del funcionamiento algebraico.
En lo que respecta a las dificultades para la comprensión
de los conceptos del Cálculo y, como se podría inferir, para la adquisición de los infinitesimales por parte de los estudiantes por ser un concepto complejo, están las que se ubican en torno a las nociones de función (proceso-
objeto; diferentes registros de representación) y límite (obstáculo-el sentido común de la palabra límite, sobre generalización
de los procesos- dimensión proceso-objeto; característica del concepto-de lo intuitivo a lo formal).
Otras dificultades se deben a las restricciones de las imágenes mentales sobre la noción de función, a la notación de Leibniz, a la selección y uso apropiado de representaciones, a la manipulación algebraica y de los cuantificadores en las definiciones. Dificultades en torno al proceso de límite como intuitivo en el sentido matemático
y no psicológico, dificultades debidas a los diferentes enfoques que han existido en torno a la noción de infinitesimal
y al desarrollo de los contenidos de los programas de los cursos de Análisis en cada década.
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dónde va el aprendizaje y la enseñanza del Cálculo (Artigue,
2000; Tall, 1985, 1992). Trabajos que pretenden contribuir, desde la psicología, filosofía, historia y socioepistemología,
al debate que, a lo largo de la historia, se ha generado específicamente en torno al infinito matemático. (D’Amore, 1996, 1997; Garbin, 2005; Tall, 2001).
Tall, al observar y encontrar las dificultades señaladas
anteriormente, construye junto a Dreyfus una teoría psicológica del aprendizaje de la matemática, específicamente
de la matemática avanzada. Matemática donde los objetos matemáticos básicos no son nuevos para el estudiante (función, número real) pero que no se pueden considerar estabilizados en su mente, de aquéllos y que es el Análisis quien va a jugar un papel esencial en su maduración
y conceptualización.
En la teoría psicológica del aprendizaje de la Matemática
(PMA), específicamente de la matemática avanzada o en el Análisis, han de hacerse algunas consideraciones. Por un lado, acerca de los procesos de pensamiento que usa un estudiante cuando está realizando tareas cognitivas que involucran los infinitesimales y, por el otro, acerca de la enseñanza que promueva los procesos cognitivos de síntesis y análisis en los alumnos.
Se hace necesario hacer la distinción que se establece
entre el pensamiento elemental y avanzado en función de la complejidad de los conceptos, y más aún cómo es tratada tal complejidad; es decir, cómo es enfocada la enseñanza,
buscando a lo largo de la historia del Cálculo los elementos caracterizadores.
Al respecto, Calvo (2001) establece las diferencias que existen entre la enseñanza de la matemática elemental
y la avanzada, encontrando ciertas características que las diferencian como lo son: (a) según los conceptos que tratan, (b) los procesos de pensamiento que intervienen, (c) según los estudiantes y (d) según las estrategias de enseñanza
utilizadas. Entendiendo por “etapa elemental” a aquella que tiene lugar en las clases de matemática hasta secundaria obligatoria y por “etapa avanzada”, la que tiene
lugar en la enseñanza de la matemática universitaria. Entre ambas etapas se ubica una de “transición” que aparece
en diferentes momentos y situaciones.
Según Calvo, las diferencias esenciales en cuanto a los conceptos que se tratan es que los conceptos tratados en matemática avanzada son, en su mayoría, producto de la evolución de conceptos elementales que puede representar
un período difuso y difícil de describir. En cuanto a los procesos de pensamiento que intervienen, básicamente,
son los mismos: abstracción, análisis, categorización, conjeturación, definición, formalización, generalización y demostración, pero lo que varía es la frecuencia de su uso en cada etapa.
En cuanto a las características de los estudiantes en la etapa elemental, Calvo indica que la responsabilidad del aprendizaje, generalmente, recae en el profesor; mientras que en la etapa avanzada los estudiantes toman parte de esta responsabilidad. Por último, señala la autora en relación
a las estrategias de enseñanza utilizadas, que en la etapa elemental se hace énfasis en actividades algorítmicas
y que las definiciones son descripciones de los conceptos,
tomando como base a la experiencia; en cambio en la etapa avanzada se tiende a construir definiciones formales y hacer demostraciones.
Se podría inferir que el cambio de estatus de los objetos
matemáticos y de los procesos de pensamiento utilizados
por el estudiante para aprender tales objetos, así como el cambio de las actividades de enseñanza, ofrece una alternativa para considerar las relaciones entre la matemática
elemental y la avanzada.
En cuanto a cómo tratar el cambio de estatus de los objetos matemáticos y de los procesos de pensamiento, en la teoría psicológica propuesta por Tall y Dreyfus se postulan
una serie de principios y corolarios cognitivos sobre la naturaleza de la comprensión de la matemática y sobre cómo enseñar pensamiento matemático reflexivo. Tall (1994) indica que existen varios métodos para comprender en matemática: (a) representando visualmente la información,
ya que las imágenes como los diagramas y las gráficas proporcionan una gran cantidad de información para ser incorporados en una sola idea. La mente humana escoge propiedades implícitas de las imágenes y las incorpora al esquema conceptual; (b) usando símbolos para representar información, ya que el símbolo es tratado como un objeto matemático y en sí mismo es manipulado como un objeto mental, y (c) poner el foco de atención de los objetos en la estructura de sus propiedades y relaciones.
Según Tall (1994), los estudiantes no tienen bien desarrolladas
las estructuras cognitivas, por lo que son engañados
por las falsas imágenes. Los estudiantes tienen sus propios esquemas conceptuales asociados a los conceptos, esquemas desarrollados a través de sus propias experiencias
previas (Tall y Vinner, 1981; Tall, 1994, 2001).
Tall infiere que tales imágenes como los diagramas y las gráficas, proporcionan una gran cantidad de información.
El uso del software al ser manipulado por el usuario con el objeto de ver relaciones dinámicas, hace poderosa la visualización de los conceptos matemáticos. El software sirve para abordar, entre otras, la idea no estándar del infinitesimal,
haciendo posible una aproximación visual de las nociones de diferenciabilidad y ver microscópicamente una línea con infinitesimales. Con esto, Tall muestra hacia dónde va la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo.
Carmen María Valdivé Fernández: Los infinitesimales en el cálculo: un punto de vista sistémico.
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Por otro lado, Dreyfus (1991), quien junto con Tall participa en la elaboración de la teoría psicológica del aprendizaje de la matemática avanzada, indica que los procesos que permiten tratar los conceptos avanzados como los que se indicaron en los párrafos precedentes, son en particular, la abstracción y la representación. Mediante estos dos procesos, el alumno puede moverse de un nivel a otro y así manejar la complejidad de los conceptos.
Sin embargo, Dieudonné (citado por Artigue, 2000) expresa que los procesos fundamentales para el análisis son aproximar, subestimar y sobrestimar, pues los objetos se trabajan muchas veces con propiedades locales dando un papel predominante a la desigualdad y al modo de razonamiento
local, como es el caso de la igualdad, la cual está asociada a la idea de proximidad local finita (∀ε > 0, d(A, B) < ε entonces A = B).
En síntesis, podría decirse que cualquier teoría del aprendizaje matemático debe tomar en cuenta no sólo las ideas previas de los estudiantes sino que debe ser vista dentro del más amplio contexto de la actividad humana (su razonamiento
funcional, analítico, algebraico, numérico) y cultural (pragmática, formal, intuitiva o una mezcla de ellas).
Ahora bien, si bien es cierto que se ha de considerar cómo es enfocada la enseñanza de ciertas nociones matemáticas,
y cómo se llega a su comprensión, no es menos cierto que se deba dilucidar la evolución de la noción o concepto para interpretar factores determinantes de los procesos de construcción El estudio de la evolución histórica y epistemológica
de un concepto puede dar luz de cómo nace y se desarrolla, cómo se plantean y construyen los procedimientos
relacionados y qué limitaciones conceptuales aparecen en el aprendizaje de la noción (Crespo, 2006).
El estudio de la evolución histórica de la noción de infinitesimal en particular, tiene utilidad ya que permite diferenciar las ideas, los métodos, las representaciones, el contexto y los conceptos asociados a la noción en una época histórica a partir del trabajo realizado por los matemáticos
representativos, razón que permite abordar el tercer
componente del triángulo didáctico: el punto de vista epistemológico.
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