PROGRAMA DE PPMI - 2009

FORO DE INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN PARA PARTICIPANTES DEL PPMI

    "Precursores del Álgebra Lineal"

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    Fecha de inscripción: 08/11/2008

    "Precursores del Álgebra Lineal"

    Mensaje  Admin el Vie Nov 05, 2010 12:56 am

    Hola a todos y todas;

    Este espacio es para compartir ideas desde vuestras experiencias sobre quienes fueron los que desarrollaron el álgebra lineal y cuales fueron sus aportes, a manera de intercambiar experiencias. Por lo que, debemos participar en este espacio.

    No dudeis en solicitar si hay dificultades.

    Un saludo cordial.

    Ketty

    jesus qu
    Invitado

    Espero que sea de utilidad

    Mensaje  jesus qu el Miér Nov 10, 2010 9:00 pm

    Desde tiempos remotos, y como parte esencial de su propio desarrollo evoluti-
    vo, el hombre ha procurado entender los diferentes aspectos que forman parte
    de su vida cotidiana. Para ello ha procurado disponer de herramientas que
    le permitan no solo poder cazar y recolectar con mayor eficiencia, sino tam-
    bi¶en poder medir longitudes, ordenar y contar objetos, o reconocer fenomenos
    periodicos de la naturaleza. Como parte de este proceso de elaboracion, el
    hombre ha construido modelos que le han facilitado la tarea de resolver pro-
    blemas concretos o que le han ayudado a encontrar una solucion al problema
    especifico que lo afecta. Todo esto con el proposito de favorecer tanto su forma
    de vida como la de los miembros de su comunidad. Muchos de estos proble-
    mas tienen un caracter lineal, es decir, pueden plantearse mediante algunas
    ecuaciones lineales con coeficientes en algun campo de numeros y con unas
    pocas variables o incognitas. Recordemos que la palabra ecuacion proviene del
    latin aequatio que significa igualdad. Asi, una ecuacion es una igualdad que
    contiene algunas cantidades desconocidas.
    Problemas tan amplios como la distribucion de cosechas o el presupuesto
    de un pais, el calculo de la orbita de un asteroide (o de un planeta) y el calculo
    de la estabilidad estructural de un edificio en ingenieria civil, entre muchos
    otros, pueden plantearse en terminos de sistemas de ecuaciones lineales para
    obtener su solucion.
    Los primeros rudimentos de lo que hoy conocemos como Algebra lineal se han
    encontrado en el documento matem¶atico mas antiguo que ha llegado hasta
    nuestros dias: el papiro Rhind, conservado en el British Museum con algu-
    nos fragmentos en el Brooklyn Museum, y conocido tambien como el Libro
    de Calculo, el cual fue escrito por el sacerdote egipcio Ahmes hacia el año
    1650 a.C. y exhumado en Tebas en 1855 ([11], Vol. I, pag. 40). En este valioso
    documento se consideran las ecuaciones de primer grado, donde la incognita
    aparece representada por un \ibis" que significa escarbando en el suelo, po-
    siblemente por su primogenita aplicacion a la agrimensura. Este documento
    contiene 85 problemas redactados en escritura hieratica y fue concebido ori-
    ginalmente como un manual practico para los no iniciados. Segun el propio
    Ahmes, este texto es una copia de uno mas antiguo (2000-1800 a.C.), algunos
    Por su parte, los matematicos chinos durante los siglos III y
    IV a.C. continuaron la tradicion de los babilonios y nos legaron los primeros
    metodos del pensamiento lineal. Por ejemplo, en el tratado Nueve capitulos
    sobre el Arte Matematico, publicado durante la Dinastia Han, aparece el si-
    guiente sistema lineal:e cuyos documentos proceden quiza de periodos mas antiguos.
    8<:
    3x + 2y + z = 39
    2x + 3y + z = 34
    x + 2y + 3z = 26
    asi como un m¶etodo para su resolucion, conocido como la regla \fan-chen", la
    cual, en esencia, es el conocido metodo de eliminacion gaussiana de nuestros
    dias. Es interesante recordar el problema que dio origen a este sistema lineal,
    el cual es similar al planteado por los babilonios:
    \Hay tres clases de granos; tres gavillas de primera clase, dos de la segunda
    clase y una de la tercera hacen 39 medidas; dos de la primera, tres de la
    segunda y una de la tercera hacen 34 medidas; y una de la primera, dos de
    segunda y tres de la tercera hacen 26 medidas. >Cuantas medidas de granos
    estan contenidas en una gavilla de cada clase?"

    Usando observaciones de Pallas, tomadas entre los años 1803 y
    1809, Gauss obtiene un sistema de seis ecuaciones lineales en seis incognitas
    y dio un metodo sistematico para resolver tales ecuaciones, hoy dia conocido
    como eliminacion gaussiana.
    Luego vendrian los aportes de los matematicos islamicos y europeos, quie-
    nes siguieron cultivando el pensamiento lineal. Por ejemplo, Leonardo de Pisa
    (1180-1250), mejor conocido como Fibonacci, en su obra Liber Quadratorum
    publicada en 1225, estudio el sistema no lineal:
    ½ x2 + a = y2
    x2 ¡ a = z2;
    el cual es una generalizacion de un problema que le habia propuesto Giovanni
    da Palermo (con a = 5). Algunos aspectos sobre la vida y obra de Leonardo
    de Pisa aparecen en [39].
    Los matematicos griegos, por su parte, no se preocuparon por los pro-
    blemas lineales, a pesar de poseer un reconocido pensamiento lineal en sus
    consideraciones geometricas de origen pitagorico y de reminiscencias babilo-
    nias ([2]). No obstante, en sus trabajos se aprecian algunas tentativas del
    analisis diofantico, especialmente en el estudio de las magnitudes.

    cabreraterrazasjuanjose

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    aportes de algebra lineal

    Mensaje  cabreraterrazasjuanjose el Miér Nov 10, 2010 9:28 pm

    La historia del álgebra Lineal comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.
    Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se le llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al-jabru que significa `reducción', es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-Jwðrizmð; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.
    En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Este álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebra de al-Jwðrizmð fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas.
    A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula.
    Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo Números complejos.
    En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones (véase Combinatoria) de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.
    Después del descubrimiento de Hamilton el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra moderna —también llamada álgebra abstracta— ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.


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    Re: "Precursores del Álgebra Lineal"

    Mensaje  Admin el Miér Nov 10, 2010 10:27 pm

    Hola Jesus; Hola Juan José;

    Me alegra que sean los primeros siempre como de costumbre en realizar las actividades asignadas.

    Su intervención presenta mucha riqueza sobre el tema de estudio y fortalece vuestros conociminetos personales y profesionales bajpo la consigan del aprendizaje cooperativo y dialógico.

    Esperamos que el resto de vuestros compañeros presenten sus aportes a manera de intarcambiar el conicimiento.

    Un saludo cordial.

    Ketty


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    Re: "Precursores del Álgebra Lineal"

    Mensaje  Admin el Vie Nov 12, 2010 10:35 am

    [color=blue]Hola a todos y todas;

    Estamos a la espera de los aportes del resto de los aprticipantes.

    Considerando los aportes anteriores, cabe indicar que:

    Estamos conscientes que la enseñanza de la matemática actual se caracteriza por el predominio del Álgebra, y se habla cada vez más de la algebrización de todas las ramas de la tradicional matemática. Pues, esta tendencia se origina en los trabajos de Galois para dar solución al problema de determinar las raíces de las ecuaciones algebraicas, de donde surgió la noción de grupo. Mientras adquiere gran desarrollo la teoría de grupos y se extiende a la teoría de anillos y campos, aparece la noción de “ley de composición”, cuya aplicación a los nuevos entes matemáticos amplía considerablemente el campo del Álgebra. El primero de estos entes matemáticos es el VECTOR tal como habíamos considertado en las sesiones presenciales, que si bien era utilizado por científicos desde fines del siglo XVII, no tuvo repercusión entonces entre los matemáticos. Es hasta finales del siglo XIX cuando los vectores, y sus sucesores los tensores, con el auxilio de los recursos del análisis matemático, encuentran importantes aplicaciones en diversos campos de la física y contribuyen a la creación de las nuevas álgebras. Más tarde se fortalece la teoría de grupos y otras herramientas matemáticas y aparecen en el escenario las matrices. Éstas junto con los vectores constituyen el germen de lo que hoy conocemos como Álgebra Lineal. Con el uso de nuevas matemáticas como el Álgebra Lineal, es impresionante el cambio, que en la primera mitad del siglo XX, experimentó la matemática tanto en sus temas como en sus conceptos.

    En la actualidad, el Álgebra Lineal se ha constituido con una teoría matemática de generalizaciones y nuevos métodos de análisis, y se ha convertido en una herramienta importantísima en diversos campos de la industria y la investigación.

    He aquí, revisado la WEB se presentan algunos ejemplos que muestran la aplicación del Álgebra Lineal:

    1) En Ingeniería Geofísica, existe el problema del Pronóstico numérico del tiempo; algunos modelos cuyo objetivo es la predicción a corto y largo plazo utilizan Álgebra Lineal para obtener sus resultados.

    2) La investigación de operaciones que es un problema de asignación de recursos se fundamenta fuertemente en el Álgebra Lineal.

    3) En la investigación de materiales, en los últimos años se han desarrollado una gran variedad de reómetros. Estos equipos permiten someter materiales a diversas condiciones de flujo mediante el empleo de diferentes geometrías. Con ellos es posible simular estados de deformación similares a los que se presentan en los
    procesos industriales, de este modo es posible predecir el comportamiento de los fluidos en condiciones de trabajo. Por medio de la caracterización reológica se establecen estándares de calidad tanto en la producción como en los productos finales.

    4) En Ingeniería de Telecomunicaciones el problema de obtener cada vez mejores señales de audio y video se ha convertido en un problema de particular importancia. Dentro del mercado las señales digitales son el atractivo para el público en general y cada vez un número mayor de personas, adquieren paquetes que contienen este tipo de señales.

    5) En robótica el manejo de los grado de libertad en el diseño de un juguete es de vital importancia.

    6) Los sistemas de control de un transbordador espacial son absolutamente críticos durante el vuelo. Matemáticamente, las señales de entrada y salida de un sistema de control son funciones. Es importante, para las aplicaciones que las señales puedan sumarse y multiplicarse por escalares.166 La Enseñanza de las Matemáticas para Ingenieros

    7) En cristalografía, la descripción de una red cristalina es mejor si se escoge una base [ w v u , , ] para IR3 que corresponden a tres aristas adyacentes de una celda unitaria de cristal. Una red completa se construye aplicando varias copias de una celda unitaria.

    Cool En el estudio Geodésico Nacional de los Estados Unidos en 1974, cuando se propuso actualizar el nivel de referencia norteamericano ( NAD ) –una red con 268 000 puntos de referencia cuidadosamente medidos y marcados que abarcan todo el continente de América del Norte arriba del istmo de Panamá, junto con Groelandia, Hawai, las Islas Vírgenes, Puerto Rico y otras islas del Caribe– se resolvieron grandes sistemas de ecuaciones lineales.

    9) La telemática, la inteligencia artificial o la percepción remota difícilmente se pueden concebir sin Álgebra Lineal en sus modelos matemáticos. Es de vital importancia incorporar cuanto antes el Álgebra Lineal a las diferentes asignaturas, para lograr una visión integral de la matemática. Pero algo todavía más importante, es que la integración no sólo debe hacerse entre las asignaturas de matemáticas, sino entre las asignaturas de Física y Matemáticas. Los vínculos entre éstas deberán establecerse inmediatamente, si queremos tener verdaderos avances en tecnología e
    investigación.

    Ademas, se han hecho en los últimos años, cursos que reflejan el interés de algunos profesores por romper barreras y mostrar las diferentes posibilidades en que la interrelación de conocimientos pueden presentarse. Se cita a continuación el nombre de cursos que han sido impartidos en la División de Ciencias Básicas de la Facultad de Ingeniería de la UNAM y que corroboran lo anterior.
    Ø Introducción a los Espacios Hilbert.
    Ø Introducción a las Ondeletas.
    Ø La Triada: Álgebra Lineal – Cálculo – Electromagnetismo. Parte I
    Ø La Triada: Álgebra Lineal – Cálculo – Electromagnetismo. Parte II
    Ø Vínculos entre las asignaturas de matemáticas básicas. Parte I
    Ø Vínculos entre las asignaturas de matemáticas básicas. Parte II

    Ahora bien, haciendo una mirada a la educación matemática secundaria y iniversitaria en Bolivia, la preocupación es encontrarnos en un tiempo, en el que apenas estamos descubriendo la nueva matemática y los vínculos que puedan hacerse entre los diversos campos de la Física y la Matemática, cuando en países desarrollados como Francia o Alemania esto ya se ha hecho desde hace más de 3 décadas.

    Para no ir tan lejos, basta con observar como las asignaturas de Geometría Analítica y Álgebra Lineal, importantísimas actualmente en la formación de un ingeniero, solo tienen asignadas 3 horas por semana y que nuestra misma Facultad haya en un momento dado disminuido el número de horas de Álgebra Lineal de 4 ó 5 horas a 3 horas, esto es una muestra evidente de un retroceso dentro del contexto actual de la Ingeniería ¿No creen??...

    Pues, como educadores ¿Qué aspectos debemos considerar en vuestra tarea educativa para hacer frente a este desafio?.

    ¿Cuál la visión del bachiller a formar?

    Esperamos aportes propositivos con respecto al tema de estudio para ya ir cerrando lo temática.

    Smile...Ánimo en el desarrollo de las actividades...Pues, se trata de vuestra formación profesional.

    Un saludo cordial.

    Ketty


    cabreraterrazasjuanjose

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    PRECURSORES DEL ALGEBRA LINEAL

    Mensaje  cabreraterrazasjuanjose el Vie Nov 19, 2010 10:10 am

    LES ENVIO UNA HISTORIA DEL AALGEBRA LINEAL
    El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales.
    Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.
    La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión)
    Conceptos básicos


    Representación gráfica de la suma de dos vectores en .
    Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial (conocido también como espacio vectorial real de dimensión n, es decir, un espacio formado por vectores de n componentes) por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones de uso.
    Los objetos básicos de estudio son las n-tuplas ordenadas de números reales que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma un espacio vectorial .
    Así, por ejemplo, el vector (4.5, 7/11, -Cool es un vector del espacio y (6, -1, 0, 2, 4) es un elemento de . En particular, corresponde a un plano cartesiano XY y es el espacio euclidiano provisto de un sistema de coordenadas XYZ.
    Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar.
    El producto por un escalar en sigue la regla:

    La interpretación gráfica del producto por escalar es una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar, es decir, si es mayor o menor de 1), junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo, es decir, si es mayor o menor de 0).
    Las funciones de interés para el álgebra lineal, entre los espacios vectoriales descritos, son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes con la operaciones básicas para todo par de vectores y todo escalar :

    Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usando corresponden a vectores de números reales, pero puede extenderse a matrices del espacio que son las matrices de números reales de tamaño .
    El álgebra lineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no.
    Contexto general
    De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades (por ejemplo, que la suma es conmutativa).
    Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las condiciones de linealidad:

    A diferencia del ejemplo desarrollado en la sección anterior, los vectores no necesariamente son n-adas de escalares, sino que pueden ser elementos de un conjunto cualquiera (de hecho, a partir de todo conjunto puede construirse un espacio vectorial sobre un campo fijo).
    Finalmente, el álgebra lineal estudia también las propiedades que aparecen cuando se impone estructura adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de las más frecuentes la existencia de un producto interno (una especie de producto entre dos vectores) que permite introducir nociones como longitud de vectores y ángulo entre un par de los mismos...
    Espacios vectoriales de uso común
    Dentro de los espacios vectoriales de dimensión finita, son de amplio uso los tres tipos siguientes de espacios vectoriales:
    [editar] Vectores en Rn
    Este espacio vectorial está formado por el conjunto de vectores de n dimensión (es decir con n número de componentes). Podemos encontrar un ejemplo de ellos en los vectores R2 , que son famosos por representar las coordenadas cartesianas: (2,3), (3,4),...
    [editar] Suma de Vectores
    Tengase 2 vectores que se desean sumar . ejemplo
    vector 1 =vi
    v1=(3,4,-Cool v2=(5,2,4)
    (3, 4, -Cool + (5,2,4) = (3+5, 4+2, -8+4) = (8,6,-4).
    Matrices mxn
    Está formado por las arreglos numéricos, cuyas dimensiones se representan m filas por n columnas. Los arreglos matriciales son particularmente estudiados por el algebra lineal y son bastantes usados en las ciencias e ingeniería.
    [editar] Espacio vectorial de polinomios en una misma variable
    Un ejemplo espacio vectorial está dado por todos los polinomios cuyo grado es menor o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variable x.
    Ejemplos de tales polinomios son:

    La suma de dos polinomios cuyo grado no excede a 2 es otro polinomio cuyo grado no excede a 2:
    (3x2 − 5x + 1) + (4x − Cool = 3x2 − x − 7
    El campo de escalares es naturalmente el de los números reales, y es posible multiplicar un número por un polinomio:

    donde el resultado nuevamente es un polinomio (es decir, un vector).
    Un ejemplo de transformación lineal es el operador derivada D, que asigna a cada polinomio el resultado de derivarlo:
    D(3x2 − 5x + 7) = 6x − 5.
    El operador derivada satisface las condiciones de linealidad, y aunque es posible demostrarlo con rigor, simplemente lo ilustramos con un ejemplo la primera condición de linealidad:
    D((4x2 + 5x − 3) + (x2 − x − 1)) = D(5x2 + 4x − 4) = 10x + 4
    y por otro lado:
    D(4x2 + 5x − 3) + D(x2 − x − 1) = (8x + 5) + (2x − 1) = 10x + 4.
    Cualquier espacio vectorial tiene una representación en coordenadas similar a , lo cual se obtiene mediante la elección de una base (es decir, un conjunto especial de vectores), y uno de los temas recurrentes en el álgebra lineal es la elección de bases apropiadas para que los vectores de coordenadas y las matrices que representan las transformaciones lineales tengan formas sencillas o propiedades específicas.
    Generalización y temas relacionados
    Puesto que el álgebra lineal es una teoría exitosa, sus métodos se han desarrollado por otras áreas de la matemática: en la teoría de módulos, que remplaza al cuerpo en los escalares por un anillo; en el álgebra multilineal, uno lidia con 'múltiples variables' en un problema de mapeo lineal, en el que cada número de las diferentes variables se dirige al concepto de tensor; en la teoría del espectro de los operadores de control de matrices de dimensión infinita, aplicando el análisis matemático en una teoría que no es puramente algebraica. En todos estos casos las dificultades técnicas son mucho más grandes.



    HERNAN A
    Invitado

    INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL

    Mensaje  HERNAN A el Sáb Nov 20, 2010 4:32 pm

    [justify]El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales.
    Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.
    La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión)
    Conceptos básicos


    Representación gráfica de la suma de dos vectores en .
    Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial (conocido también como espacio vectorial real de dimensión n, es decir, un espacio formado por vectores de n componentes) por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones de uso.
    Los objetos básicos de estudio son las n-tuplas ordenadas de números reales que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma un espacio vectorial .
    Así, por ejemplo, el vector (4.5, 7/11, -Cool es un vector del espacio y (6, -1, 0, 2, 4) es un elemento de . En particular, corresponde a un plano cartesiano XY y es el espacio euclidiano provisto de un sistema de coordenadas XYZ.
    Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar.
    El producto por un escalar en sigue la regla:

    La interpretación gráfica del producto por escalar es una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar, es decir, si es mayor o menor de 1), junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo, es decir, si es mayor o menor de 0).
    Las funciones de interés para el álgebra lineal, entre los espacios vectoriales descritos, son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes con la operaciones básicas para todo par de vectores y todo escalar :

    Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usando corresponden a vectores de números reales, pero puede extenderse a matrices del espacio que son las matrices de números reales de tamaño .
    El álgebra lineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no.
    Contexto general
    De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades (por ejemplo, que la suma es conmutativa).
    Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las condiciones de linealidad:

    A diferencia del ejemplo desarrollado en la sección anterior, los vectores no necesariamente son n-adas de escalares, sino que pueden ser elementos de un conjunto cualquiera (de hecho, a partir de todo conjunto puede construirse un espacio vectorial sobre un campo fijo).
    Finalmente, el álgebra lineal estudia también las propiedades que aparecen cuando se impone estructura adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de las más frecuentes la existencia de un producto interno (una especie de producto entre dos vectores) que permite introducir nociones como longitud de vectores y ángulo entre un par de los mismos...
    Espacios vectoriales de uso común
    Dentro de los espacios vectoriales de dimensión finita, son de amplio uso los tres tipos siguientes de espacios vectoriales:
    [editar] Vectores en Rn
    Este espacio vectorial está formado por el conjunto de vectores de n dimensión (es decir con n número de componentes). Podemos encontrar un ejemplo de ellos en los vectores R2 , que son famosos por representar las coordenadas cartesianas: (2,3), (3,4),...
    [editar] Suma de Vectores
    Tengase 2 vectores que se desean sumar . ejemplo
    vector 1 =vi
    v1=(3,4,-Cool v2=(5,2,4)
    (3, 4, -Cool + (5,2,4) = (3+5, 4+2, -8+4) = (8,6,-4).
    Matrices mxn
    Está formado por las arreglos numéricos, cuyas dimensiones se representan m filas por n columnas. Los arreglos matriciales son particularmente estudiados por el algebra lineal y son bastantes usados en las ciencias e ingeniería.
    [editar] Espacio vectorial de polinomios en una misma variable
    Un ejemplo espacio vectorial está dado por todos los polinomios cuyo grado es menor o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variable x.
    Ejemplos de tales polinomios son:

    La suma de dos polinomios cuyo grado no excede a 2 es otro polinomio cuyo grado no excede a 2:
    (3x2 − 5x + 1) + (4x − Cool = 3x2 − x − 7
    El campo de escalares es naturalmente el de los números reales, y es posible multiplicar un número por un polinomio:

    donde el resultado nuevamente es un polinomio (es decir, un vector).
    Un ejemplo de transformación lineal es el operador derivada D, que asigna a cada polinomio el resultado de derivarlo:
    D(3x2 − 5x + 7) = 6x − 5.
    El operador derivada satisface las condiciones de linealidad, y aunque es posible demostrarlo con rigor, simplemente lo ilustramos con un ejemplo la primera condición de linealidad:
    D((4x2 + 5x − 3) + (x2 − x − 1)) = D(5x2 + 4x − 4) = 10x + 4
    y por otro lado:
    D(4x2 + 5x − 3) + D(x2 − x − 1) = (8x + 5) + (2x − 1) = 10x + 4.
    Cualquier espacio vectorial tiene una representación en coordenadas similar a , lo cual se obtiene mediante la elección de una base (es decir, un conjunto especial de vectores), y uno de los temas recurrentes en el álgebra lineal es la elección de bases apropiadas para que los vectores de coordenadas y las matrices que representan las transformaciones lineales tengan formas sencillas o propiedades específicas.
    Generalización y temas relacionados
    Puesto que el álgebra lineal es una teoría exitosa, sus métodos se han desarrollado por otras áreas de la matemática: en la teoría de módulos, que remplaza al cuerpo en los escalares por un anillo; en el álgebra multilineal, uno lidia con 'múltiples variables' en un problema de mapeo lineal, en el que cada número de las diferentes variables se dirige al concepto de tensor; en la teoría del espectro de los operadores de control de matrices de dimensión infinita, aplicando el análisis matemático en una teoría que no es puramente algebraica. En todos estos casos las dificultades técnicas son mucho más grandes.
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    daniel v
    Invitado

    PRECURSORES DEL ALGEBRA LINEAL

    Mensaje  daniel v el Sáb Nov 20, 2010 4:42 pm

    François Viète fue un matemático francés (Fontenay-le-Comte, 1540 - París, 1603).Se le considera uno de los principales precursores del álgebra. Fue el primero en representar los parámetros de una ecuación con letras.

    Descartes introdujo la norma de utilizar las últimas letras del alfabeto para los nºs desconocidos (variables) y las primeras para los nºs conocidos (datos).
    Entre los precursores del álgebra está Diofanto (año 325 al 410), gran matemático que dio fama a Alejandría. Se conservan seis de los trece libros que formaban su Arithmetica y tienen la doble importancia de perfeccionar la notación matemática y ampliar los objetivos del algebra.

    Ytalo R.
    Invitado

    precursores del algebra lineal

    Mensaje  Ytalo R. el Sáb Nov 20, 2010 5:19 pm

    Mucho antes de los primeros registros escritos, hay dibujos que indican algún conocimiento de matemáticas elementales y de la medida del tiempo basada en las estrellas. Por ejemplo, los paleontólogos han descubierto rocas de ocre en una caverna de Sudáfrica de, aproximadamente, 70.000 años de antigüedad, que están adornados con hendiduras en forma de patrónes geométricos.[2] También se descubrieron artefactos prehistóricos en África y Francia, datados entre el 35.000 y el 20.000 a.C.,[3] que sugieren intentos iniciales de cuantificar el tiempo.[4]

    Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo menstrual: de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra, seguidas de una marca distintiva. Más aún, los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno, dos y muchos, así como la idea de ninguno o cero, cuando hablaban de manadas de animales.[5] [6]

    El hueso de Ishango, encontrado en las inmediaciones del río Nilo, al noreste del Congo, puede datar de antes del 20.000 a. C. Una interpretación común es que el hueso supone la demostración más antigua conocida[7] de una secuencia de números primos y de la multiplicación en el Antiguo Egipto. En el periodo predinástico de Egipto del 5º milenio a.C. se representaban pictóricamente diseños espaciales geométricos. Se ha afirmado que los monumentos megalíticos en Inglaterra y Escocia, del 3er milenio a.C., incorporan ideas geométricas tales como círculos, elipses y ternas pitagóricas en su diseño.[8]

    Las primeras matemáticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 - 2600 a. C., en la Cultura del Valle del Indo, (civilización Harappa) del norte de la India y Pakistán. Esta civilización desarrolló un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba el sistema decimal, una sorprendentemente avanzada tecnología con ladrillos para representar razones, calles dispuestas en perfectos ángulos rectos y una serie de formas geométricas y diseños, incluyendo cuboides, barriles, conos, cilindros y diseños de círculos y triángulos concéntricos y secantes. Los instrumentos matemáticos empleados incluían una exacta regla decimal con subdivisiones pequeñas y precisas, unas estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegación. La escritura hindú no ha sido descifrada todavía, de ahí que se sepa muy poco sobre las formas escritas de las matemáticas en Harappa. Hay evidencias arqueológicas que han llevado a algunos a sospechar que esta civilización usaba un sistema de numeración de base octal y tenían un valor para π, la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.[9] [10]

    Por su parte, las primeras matemáticas en China datan de la Dinastía Shang (1600 - 1046 a.C ) y consisten en números marcados en un caparazón de tortuga [1] [2]. Estos números fueron representados mediante una notación decimal. Por ejemplo, el número 123 se escribía, de arriba a abajo, como el símbolo para el 1 seguido del símbolo para 100, luego el símbolo para el 2 seguido del símbolo para 10 y, por último, el símbolo para el 3. Este era el sistema de numeración más avanzado en su tiempo y permitía hacer cálculos para usarlos con el suanpan o el ábaco chino. La fecha de invención del suanpan no se conoce con certeza, pero la mención escrita más antigua data del 190 d. C., en Notas suplementarias sobre el Arte de las Cifras, de Xu Yue's.
    Mesopotamia
    Artículo principal: Matemáticas babilónicas
    Las matemáticas babilónicas hacen referencia a las matemáticas de la gente de Mesopotamia, el actual Irak, desde los días de los primeros sumerios, hasta el inicio del periodo helenístico. Se llaman matemáticas babilónicas debido al papel central de Babilonia como lugar de estudio, que dejó de existir durante el periodo helenístico. Desde este punto, las matemáticas babilónicas se fundieron con las matemáticas griegas y egipcias para dar lugar a las matemáticas helenísticas. Más tarde, bajo el Imperio árabe, Mesopotamia, especialmente Bagdad, volvió a ser un importante centro de estudio para las matemáticas islámicas.

    En contraste con la escasez de fuentes en las matemáticas egipcias, el conocimiento sobre las matemáticas en Babilonia se deriva de más de 400 tablillas de arcilla desveladas desde 1850. Labradas en escritura cuneiforme, las tablillas fueron grabadas mientras la arcilla estaba húmeda y cocidas posteriormente en un horno o secadas al sol. Algunas de ellas parecen ser tareas graduadas.

    Las evidencias más tempranas de matemáticas escritas datan de los antiguos sumerios, que constituyeron la civilización primigenia en Mesopotamia. Los sumerios desarrollaron un sistema complejo de metrología desde el 3000 a. C. Desde alrededor del 2500 a. C. en adelante, los sumerios escribieron tablas de multiplicar en tablillas de arcilla y trataron ejercicios geométricos y problemas de división. Las señales más tempranas de los numerales babilónicos también datan de ese periodo.[11]

    La mayoría de las tablillas de arcilla recuperadas datan del 1800 al 1600 a. C. y abarcan tópicos que incluyen fracciones, álgebra, ecuaciones cuadráticas y cúbicas y el cálculo de primos gemelos regulares recíprocos (véase Plimpton 322).[12] Las tablillas también incluyen tablas de multiplicar y métodos para resolver ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas. La tablilla babilónica YBC 7289 da una aproximación de √2 con una exactitud de cinco posiciones decimales.

    Las matemáticas babilónicas fueron escritas usando un sistema de numeración sexagesimal (base 60). De ahí se deriva la división de un minuto en 60 segundos y de una hora en 60 minutos, así como la de un círculo en 360 (60 × 6) grados y las subdivisiones sexagesimales de esta unidad de medida de ángulos en minutos y segundos. Los avances babilónicos en matemáticas fueron facilitados por el hecho de que el número 60 tiene muchos divisores. También, a diferencia de los egipcios, griegos y romanos, los babilonios tenían un verdadero sistema de numeración posicional, donde los dígitos escritos a la izquierda representaban valores de orden superior, como en nuestro actual sistema decimal de numeración. Carecían, sin embargo, de un equivalente a la coma decimal y así, el verdadero valor de un símbolo debía deducirse del contexto.

    [editar] Egipto
    Artículo principal: Matemáticas en el Antiguo Egipto
    Las matemáticas en el Antiguo Egipto se refieren a las matemáticas escritas en las lenguas egipcias. Desde el periodo helenístico, el griego sustituyó al egipción como el lenguaje escrito de los escolares egipcios y desde ese momento las matemáticas egipcias se fundieron con las griegas y babilónicas para dar lugar a las matemática helénica. El estudio de las matemáticas en Egipto continuó más tarde bajo el imperio árabe como parte de las matemáticas islámicas, cuando el árabe se convirtió en el lenguaje escrito de los escolares egipcios.

    El texto matemático más antiguo descubierto es el papiro de Moscú, que data del Imperio Medio de Egipto, hacia el 2000-1800 a. C. Como muchos textos antiguos, consiste en lo que hoy se llaman problemas con palabras o problemas con historia, que tienen la intención aparente de entretener. Se considera que uno de los problemas es de particular importancia porque ofrece un método para encontrar el volumen de un tronco: "Si te dicen: Una pirámide truncada [de base cuadrada] de 6 de altura vertical, por 4 en la base [base inferior] y 2 en lo alto [base superior]. Haces el cuadrado de 4 y resulta 16. Doblas 4 y resulta 8. Haces el cuadrado de 2 y resulta 4. Sumas el 16, el 8 y el 4 y resulta 28. Tomas un tercio de 6 y resulta 2. Tomas 28 dos veces y resulta 56. Mira, es 56. Encontrarás lo correcto."

    El papiro de Rhind (hacia 1650 a. C. [3]) es otro texto matemático egipcio fundamental, un manual de instrucciones en aritmética y geometría. En resumen, proporciona fórmulas para calcular áreas y métodos para la multiplicación, división y trabajo con fracciones unitarias. También contiene pruebas de otros conocimientos matemáticos,[13] incluyendo números compuestos y primos; media aritmética, geométrica y armónica; y una comprensión simple de la criba de Eratóstenes y la teoría de números perfectos, a saber, del número 6)[4]. El papiro también muestra cómo resolver ecuaciones lineales de primer orden[5], así como series aritméticas y series geométricas[6].

    Además, tres elementos geométricos del papiro de Rhind sugieren los rudimentos de la geometría analítica: (1) primero y más importante, cómo obtener una aproximación de π con un error menor del 1%; (2) segundo, un antiguo intento de cuadrar el círculo; y (3) tercero, el uso más antiguo conocido de un tipo de cotangente.

    Finalmente, el papiro de Berlín (hacia 1300 a. C. [7] [8]) muestra que los antiguos egipcios podían resolver una ecuación cuadrática [9].

    Matemáticas en la antigua India (del 900 a. C. al 200 d. C.)
    Artículo principal: Matemáticas en la India

    Numerales Brahmi en el siglo I.Las matemáticas védicas comenzaron en la temprana Edad del Hierro, con el Shatapatha Brahmana (hacia el siglo IX a. C.), donde se aproxima el valor de π con dos decimales.[10] y el Sulba Sutras (hacia el 800–500 a. C.) que eran textos de geometría que usaban números irracionales, números primos, regla de tres y raíces cúbicas; cálculo de la raíz cuadrada de 2 con cinco decimales; un método para cuadrar el círculo; resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas; desarrollo algebraico de ternas pitagóricas y enunciado y demostración numérica del teorema de Pitágoras.

    Pāṇini (hacia el siglo V a.C.) formuló las reglas gramaticales para el sánscrito. Su notación fue similar a la notación matemática moderna y usaba "metarreglas", transformaciones y recursiones con tal sofisticación que su gramática tenía el poder de cálculo equivalente a una máquina de Turing. Pingala (aproximadamente de los siglos III al I a.C.) en su tratado de prosodia usa un dispositivo correspondiente a un sistema binario de numeración. Su discusión sobre la combinatoria de métricas musicales corresponde al teorema binomial. La obra de Pingala también contiene ideas básicas sobre los números de Fibonacci, llamados mātrāmeru. La escritura Brāhmī se desarrolló al menos desde la dinastía Maurya, en el siglo IV a. C., con evidencias arqueológicas recientes que hicieron retroceder la fecha hacia el 600 a. C. Los numerales brahmi datan del siglo III a. C.

    Entre el 400 a. C. y el 200 a. C., los matemáticos Jaina comienzan el estudio de las matemáticas para el exclusivo propósito de las matemáticas. Ellos fueron los primeros en desarrollar los números transfinitos, la teoría de conjuntos, los logaritmos, leyes fundamentales de los índices, ecuaciones cúbicas y cuárticas, sucesiones y progresiones, permutaciones y combinaciones, cuadrados y extracción de la raíz cuadrada y potencias finitas e infinitas. El Manuscrito Bakhshali, escrito entre el 200 a.C y el 200 d. C., incluía soluciones de ecuaciones lineales con más de cinco incógnitas, la solución de la ecuación cuadrática, progresiones aritméticas y geométricas, series compuestas, ecuaciones cuadráticas indeterminadas, ecuaciones simultáneas y el uso del cero y los números negativos. También pudieron encontrarse cálculos exactos de números irracionales, que incluían raíces cuadradas de números tan grandes como un millón y con once decimales.

    [editar] Matemáticas griegas en la Antigüedad (hasta el 300 d. C.)
    Artículo principal: Matemática helénica

    Pitágoras de SamosLas matemáticas griegas hacen referencia a las matemáticas escritas en griego desde el 600 a. C. hasta el 300 d. C.[14] Los matemáticos griegos vivían en ciudades dispersas a lo largo del Mediterráneo Oriental, desde Italia hasta el Norte de África, pero estaban unidas por un lenguaje y una cultura común. Las matemáticas griegas del periodo siguiente a Alejandro Magno se llaman en ocasiones Matemáticas helenísticas.


    Tales de MiletoLas matemáticas griegas eran más sofisticadas que las matemáticas que habían desarrollado las culturas anteriores. Todos los registros que quedan de las matemáticas pre-helenísticas muestran el uso del razonamiento inductivo, esto es, repetidas observaciones usadas para establecer reglas generales. Los matemáticos griegos, por el contrario, usaban el razonamiento deductivo. Los griegos usaron la lógica para deducir conclusiones, o teoremas, a partir de definiciones y axiomas.[15] La idea de las matemáticas como un entramado de teoremas sustentados en axiomas está explícita en los Elementos de Euclides (hacia el 300 a. C.).

    Se cree que las matemáticas griegas comenzaron con Thales (hacia 624 a.C – 546 a.C) y Pitágoras (hacia 582 a. C. - 507 a. C.). Aunque el alcance de su influencia puede ser discutido, fueron inspiradas probablemente por las matemáticas egipcias, mesopotámicas e indias. Según la leyenda, Pitágoras viajó a Egipto para aprender matemáticas, geometría y astronomía de los sacerdotes egipcios.

    Thales usó la geometría para resolver problemas tales como el cálculo de la altura de las pirámides y la distancia de los barcos desde la orilla. Se atribuye a Pitágoras la primera demostración del teorema que lleva su nombre, aunque el enunciado del teorema tiene una larga historia.[16] En su comentario sobre Euclides, Proclo afirma que Pitágoras expresó el teorema que lleva su nombre y construyó ternas pitagóricas algebraicamente antes que de forma geométrica. La Academia de Platón tenía como lema "Que no pase nadie que no sepa Geometría".

    Los Pitagóricos probaron la existencia de números irracionales. Eudoxio (408 al 355 a. C.) desarrolló el método de exhausción, un precursor de la moderna integración. Aristóteles (384 al 322 a. C.) fue el primero en dar por escrito las leyes de la lógica. Euclides (hacia el 300 a. C.) dio el ejemplo más temprano de la metodología matemática usada hoy día, con definiciones, axiomas, teoremas y demostraciones. También estudió las cónicas. Su libro Elementos fue conocido por todo el mundo occidental culto hasta la mitad del siglo XX.[17] Además de los teoremas familiares sobre geometría, tales como el Teorema de Pitágoras, "Los elementos" incluye una demostración de que la raíz cuadrada de dos es un número irracional y otra sobre la infinitud de los números primos. La Criba de Eratóstenes (hacia 230 a. C.) fue usada para el descubrimiento de números primos.

    Arquímedes de Siracusa (hacia 287-212 a. C.) usó el método de exhausción para calcular el área bajo un arco de parábola con ayuda de la suma de una serie infinita y dio una aproximación notablemente exacta de pi.[18] También estudió la espiral, dándole su nombre, fórmulas para el volumen de superficies de revolución y un ingenioso sistema para la expresión de números muy grandes.



    CRISTOBA
    Invitado

    PRECURSORES DE LA MATEMATICA ALGEBRA LINEAL

    Mensaje  CRISTOBA el Sáb Nov 20, 2010 5:26 pm

    Historia Resumida de las Matemáticas.

    Las matemáticas son el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.

    Las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad.


    Las matemáticas avanzadas y organizadas fueron desarrolladas en el tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto, las cuales estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos.

    Los primeros libros egipcios, muestran un sistema de numeración decimal con símbolos diferentes para las potencias de 10, similar a los números romanos. Los números se representaban escribiendo 1 tantas veces como unidades tenía la cifra dada, el 10, tantas veces como decenas tenía, y así sucesivamente. Para sumar, se sumaban en secciones diferentes las unidades, las decenas, las centenas... de cada número para obtener el resultado correcto. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

    Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (ð), junto con la fracción, para expresar todas las fracciones. En geometría encontraron reglas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, pirámides. Para calcular el área de un círculo, utilizaron un cuadrado de lado ð del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando pi 3.1416.

    Los babilonios tallaron tablillas con varias cuñas (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una en forma de flecha representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como lo hacían los egipcios y los romanos. Pero el 60, era representado con el símbolo del 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en la cifra completa. Esta manera de expresar números, fue ampliado a la representación de fracciones. Posteriormente este sistema fue denominado sexagesimal.

    Tiempo más tarde, los babilonios desarrollaron matemáticas más sofisticadas, lo cual les permitió encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. También lograron encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Fueron capaces de recopilar gran cantidad de tablas, como las de multiplicar, de dividir, de cuadrados y hasta las de interés compuesto. Calcularon la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, pero también de sucesiones de cuadrados. Aunque también obtuvieron una buena aproximación de la raíz cuadrada.


    Uno de los grupos más innovadores en la historia de las matemáticas fueron los egipcios, quienes inventaron las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones. Los descubridores egipcios más importantes fueron Tales de Mileto y Pitágoras de Samos, quien explicó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo.

    Uno de los principales interesados en la geometría fue Demócrito, quien encontró la fórmula para calcular el volumen de una pirámide, aunque Hipócrates, descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos, lo cual está relacionado con el problema de la cuadratura del círculo, que consiste en construir un cuadrado de área igual a un círculo. En ese tiempo también fue resuelto mediante diversos métodos y utilizando instrumentos diversos, entre los que se encuentran el compás en incluso la regla el problema de la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo que consiste en construir un cubo cuyo volumen es el cuadrado de el de un cubo dado).

    A finales del siglo V a.C., descubrieron que no existe una unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, puesto que una de las dos cantidades es inconmensurable, es decir, no existen dos números naturales cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado y la diagonal. Pero como los griegos sólo utilizaban los números naturales, no pudieron expresar numéricamente dicho cociente, ya que es un número irracional. Por esta razón, fue abandonado la teoría Pitagórica de la proporción, basada en números, por lo que más tarde crearon una nueva teoría no numérica, la cual fue introducida por Eudoxo, quien descubrió un método para demostrar supuestos sobre áreas y volúmenes mediante aproximaciones sucesivas.

    Euclides redactó trece libros que componen sus Elementos, los cuales contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente en el siglo IV a.C., trataba temas como la geometría de polígonos, del círculo, la teoría de números, la teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes.

    Mucho tiempo después, Arquímedes utilizó un nuevo método teórico para calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir de las cónicas. Apolonio, redactó un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de base para el estudio de la geometría de estas curvas.

    Después, Herón expuso cómo elementos de la tradición aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lógicas de los grandes geómetras.

    En el siglo II a.C., los griegos adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de fracciones y recopilaron tablas de las cuerdas de un círculo, puesto que para un círculo de radio determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en función del ángulo central correspondiente, que crecía con un determinado incremento. Eran similares a las tablas de seno y coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometría.

    Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver problemas con triángulos planos y se introdujo el teorema de Menéalo, que utilizaron para calcular las longitudes de arcos de esfera en función de otros arcos, son este conocimiento, les fue posible resolver problemas de astronomía esférica.

    Después de un siglo de expansión de la religión musulmana, los árabes incorporaron a su propia ciencia los resultados de “ciencias extranjeras”.

    Hacia el año 900, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales. Posteriormente, Jayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. Pero el árabe Al-Jwârizmî (de su nombre procede la palabra algoritmo) desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número de términos. Ibrahim ibn Sinan, continuaron investigaciones sobre áreas y volúmenes. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao.

    Pero fue siglos después cuando algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones.


    Hasta el siglo XVI, descubrieron una fórmula para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por Cardano en su Ars magna. Esto llevó a los matemáticos a interesarse por números complejos y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior.

    En el siglo XVI se utilizaron los signos matemáticos y algebraicos.

    Durante el siglo XVII se comenzó con el descubrimiento de logaritmos por Neper, lo que llevó a Laplace a decir, dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado la vida.

    La ciencia de la teoría de números, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios de la antigüedad clásica. Su conjetura más destacada en este campo fue que no existen soluciones de la ecuación an + bn = cn con a, b y c enteros positivos si n es mayor que 2, lo que es famoso con el nombre de teorema de Fermat.


    Tiempo después fue descubierto por Descartes, la geometría analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra para investigar la geometría de las curvas. Posteriormente, fue la publicación, por Desargues de su descubrimiento de la geometría proyectiva. Pero, a pesar de que este trabajo fue alabado por Descartes y Pascal, su terminología excéntrica y el gran entusiasmo que había causado la aparición de la geometría analítica retrasó el desarrollo de sus ideas hasta el siglo XIX, con los trabajos de Poncelet.

    En el siglo XVII, apareció la teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre el problema de puntos, esto llevó a Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado por Bernoulli.

    El acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue el descubrimiento por Newton de los cálculos diferencial e integral, para llegar a éstos, Newton se basó en los trabajos de John Wallis, Isaac Barrow, Descartes, Cavalieri, Hudde y Roberval. Pero ocho años más tarde, Leibniz descubrió también el cálculo pero el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en día en el cálculo.

    A continuación, discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió crear nuevos campos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y Monge la geometría descriptiva. Lagrange, dio un tratamiento completa-mente analítico de la mecánica. Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades y el clásico Mecánica celeste, los cuales le valieron el sobrenombre de `el Newton francés'.


    En el siglo XVIII, Euler aportó ideas sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra. La teoría de Newton estaba basada en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era algebraico y basado en el concepto de las series infinitas.

    En 1821, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo; basó su visión del cálculo en cantidades finitas y el concepto de límite. Pero, esta solución planteó elproblema de la definición lógica de número real. A pesar de que la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, Dedekind encontró una definición adecuada para los números reales, a partir de los números racionales.

    A principios del siglo XIX, Gauss dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y Riemann. Otro importante avance del estudio, por parte de Fourier, fue el de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas, las que hoy en día se conocen como series de Fourier, y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Además, la investigación de funciones llevó a Cantor al estudio de los conjuntos infinitos y a una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor fue considerada como demasiado abstracta y criticada como “enfermedad de la que las matemáticas se curarán pronto”, forma hoy parte de los fundamentos de las matemáticas y recientemente ha encontrado una nueva aplicación en el estudio de corrientes turbulentas en fluidos.


    Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo fue la geometría no euclídea, en la cual se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a ésta. Aunque fue descubierta primero por Gauss, Lobachevski y Bolyai, lo publicaron primero porque Gauss tuvo miedo a la controversia que su publicación pudiera causar. Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas por Riemann, con su descubrimiento de las múltiples paralelas.

    Durante el siglo XIX, George Boole y Cantor dan su teoría de conjuntos. Pero, fue hasta finales del siglo cuando se descubrieron una serie de paradojas en la teoría de Cantor. Posteriormente, Russell encontró una paradojas, que afectó al concepto de conjunto.

    Hilbert invento el ordenador o computadora digital programable, primordial en las matemáticas del futuro. Aunque los orígenes de las computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el siglo XVII, fue Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó una máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendo una lista de instrucciones escritas en tarjetas o cintas. La imaginación de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, construyendo el relé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la computación programable a gran escala se hizo realidad., lo cual ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se ha convertido en una poderosa herramienta en campos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el problema topológico de los cuatro colores propuesto a mediados del siglo XIX. El teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa, con la condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores.


    Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.













    Babilonia


    Tres mil años antes de Cristo, los pobladores de los ríos Tigris y Eúfrates dejaron miles de tablillas de arcilla. En más de 500 de ellas aparecen manifestaciones matemáticas que describen su sistema de numeración en base 60 y sus conocimientos sobre el teorema de Pitágoras.

    Eran grandes observadores del espacio, es decir de las posiciones de los planetas que llegaban a observar (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno), gracias a ellos, ahora tenemos dos conocimientos, de los cuales uno tiene importancia mayor a la del otro y son:

    - El horóscopo. Bautizaron las doce constelaciones del zodíaco, dividiendo cada una de ellas en 30 partes iguales. Es decir, dividieron el círculo zodiacal en 12 x 30 = 360 partes.

    - Afirmaron la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.



    Fueron capaces de calcular raíces cuadradas, fracciones, ecuaciones de primer y segundo grado y ecuaciones cúbicas de la forma n3 + n2 = a.





    Tablilla con motivos geométricos


    En el 2000 a.C., descubrieron un sistema posicional, en el que simbolizaban cualquier número con la T para el 1 y < para el 10. La base que utilizan es 60. Ejemplos:

    24 = <<TTTT 93 = 60 + 30 + 3 = T<<<TTT

    En la tablilla Plimpton 322, se puede deducir que los babilonios conocían el hecho de que si p y q son dos números enteros entonces los números b = p2 - q2 ; c = 2pq ; y a = p2 + q2 a, b y c son las medidas de los lados de un triángulo rectángulo. Lo que ahora es mejor conocido con el nombre de Teorema de Putágoras.

    Egipto

    Según Herodoto los egipcios son los padres de la Geometría, aunque también tenían un sofisticado sistema de numeración que les permitía trabajar con fracciones de una forma muy especial ya que el numerador siempre era la unidad. En los papiros de Rhind y de Moscú, aparece una colección de más de 100 problemas matemáticos egipcios. Su sistema de numeración era de base diez. Los símbolos para representar las potencias de 10 eran los siguientes:








    Papiro de Moscú

    Los egipcios sólo utilizaban fracciones con numerador uno (1), como: 1/3, 1/7, 1/15, 1/47...

    El papiro de Rhind contiene una tabla de conversión de partes de la unidad a estas fracciones. Es el equivalente con más de 3000 años de antigüedad de nuestras tablas de multiplicar, sólo que para trabajar con fracciones.

    Pitágoras

    Introdujo la necesidad de demostrar las proposiciones matemáticas de manera inmaterial e intelectual, al margen de su sentido práctico. Los pitagóricos dividieron el saber científico en cuatro ramas: la aritmética o ciencia de los números - su lema era "todo es número" -, la geometría, la música y la astronomía.



    Descubrió que existía una estrecha relación entre la armonía musical y la armonía de los números, puesto que si jalamos una cuerda obtenemos una nota. Cuando la longitud de la cuerda se reduce a la mitad, (en relación 1:2) obtenemos una octava y así sucesivamente.

    El teorema de Pitágoras tiene gran cantidad de demostraciones, incluso el señor Scott Loomis recopiló información y publicó a principios del siglo XX que tenía 367 demostraciones, aunque obviamente existe un margen de error. El teorema de Pitágoras es el siguiente:






    Los números poligonales estuvieron representados en la siguiente tabla:






    Hipsicles de Alejandría (Siglo II a.C.) va a proporcionar la definición de número poligonal de d lados y orden n de una forma que algebraicamente equivale a la fórmula N (n,d) = n+ 1/2 n ( n -1) ( d -2 )

    Euclides en el libro más famoso de la Historia de las Matemáticas recopiló gran parte de los conocimientos Pitagóricos sobre los números. Así mismo, definió los números primos y compuestos de forma geométrica: un número entero es compuesto cuando tiene divisores distintos de él mismo y de la unidad, es decir cuando se puede dibujar como un rectángulo numérico.


    En el libro IX de los Elementos, Euclides nos deja perplejos con su proposición 36, que proporciona un método original para encontrar números perfectos, la cual es:

    "Si tantos números como se quiera a partir de una unidad se disponen en proporción duplicada hasta que su total resulte primo, y el total multiplicado por el último produce algún número, el producto será perfecto" .


    Lo que se refiere a "Si la suma de las n primeras potencias de 2 es un número primo, entonces el producto de la suma por la última potencia sumada es un número perfecto".

    Si (1+2+22+...+2n) es primo, entonces (1+2+22+...+2n)·2n es perfecto.





    Nicómaco de Gerasa en su Introductio Arithmeticae incluye los 4 primeros números perfectos que son: 6, 28, 496, 8128. Nicómaco llegó a descubrir distintos resultados tales como el hecho de que el cubo de todo número entero n, es la suma de n números impares consecutivos: 13 = 1; 23 = 3+5; 33 = 7+9+11; ...

    Pero fue hasta el siglo I, cuando se encontró la solución a uno de esos problemas: 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +...= (1+2+3+...+n)2. Su representación:





    Apolonio es el padre de las cónicas

    Arquímedes estudió círculos, esferas, espirales, parábolas, entre otras muchas formas geométricas.







    El tornillo de Arquímedes


    Diofanto La Aritmética constaba de 13 libros de los cuales sólo seis sobrevivieron a la invasión de la biblioteca de Alejandría por los cristianos y musulmanes. En ellos, Diofanto propone más de cien problemas numéricos y da soluciones a todos ellos. Pero, fue hasta 1621 cuando apareció en Francia una traducción al latín de estos seis libros, realizada por Bachet.




    Números romanos

    Sistema de numeración de los romanos, el problema es que no es una buena herramienta para el cálculo, puesto que utiliza letras del alfabeto para representar los números y no es posicional, es decir cada símbolo vale siempre lo mismo, no importa dónde esté colocado. Las cifras que son utilizadas son: I, V, X, L, C, D, M. El sistema se basa en la suma de los símbolos. Salvo en el caso en que un signo numérico menor preceda a uno mayor, en ese caso se utiliza la sustracción.


    El siglo XIX

    Al igual que Arquímedes y Newton, Gauss es uno de los genios de la historia de las Matemáticas. Sus aportaciones fueron increíbles y precisamente por eso, algunos de ellos, esperaron más de un siglo para ser aceptados.

    Las aportaciones de Gauss fueron tantas que llegaron a ser inestimables; algunas de ellas son la Teoría de números, Astronomía, Magnetismo, Geometría, Análisis. La gran mayoría, sino es que todos los descubrimientos en el siglo XIX, se deben a Gauss:





    Las Disquisiciones Aritméticas, escritas en 1799 y publicadas en 1801, fueron la obra cumbre de la Teoría de Números de la época, la cual colocó a Gauss en la cumbre de la matemática, a sus 24 años. En el artículo 293 de la quinta sección Gauss demuestra que todo número entero es suma de, a lo sumo, tres números triangulares y de cuatro cuadrados. N = ð ð ð ð ð


    En la última proposición de las Disquisiciones Gauss nos brinda la relación de los polígonos regulares que se pueden construir con regla y compás.

    Su Logro más grande fue el hecho de haber construido el polígono regular de 17 lados , lo cual nadie había logrado anteriormente.


    Sus técnicas para el cálculo de órbitas planetarias aplicando el principio de mínimos cuadrados están recopiladas en su segundo libro "Teoría del movimiento de los cuerpos celestes", publicado en 1809.

    De igual manera publicó los residuos cuadráticos y bicuadráticos, así como la ley de mínimos cuadrados.

    Pero eso no le bastó, así que se dedicó de lleno al Teorema Fundamental del Álgebra, teniendo sólo 22 años en su tesis doctoral. Fue el primer matemático que demostró que cada ecuación tiene al menos una raíz compleja, consiguiendo la aceptación por los matemáticos de los números complejos, los cuales ya habían sido estudiados anteriormente por Wallis y Euller, pero se referían a ellos como números imposibles, con explicaciones muy poco convincentes para el resto de los matemáticos.


    Medio siglo antes de que Bolyai y Lobatchesky descubriesen la geometría hiperbólica, Gauss ya le había comunicado a un amigo la existencia de geometrías no euclideas tan consistentes como ésta. Y fue así como en su Quinto Postulado de Euclides los esquematizó:


















    Principales Exponentes.


    Arquímedes. Inició el estudio de la estática, anticipó métodos del cálculo infinitesimal y sentó las bases de la hidrostática. El espiral de Arquímedes era una curva cuyo radio vector es proporcional al ángulo girado. Mientras que en su postulado afirmó que dados dos segmentos sobre una recta, cualquiera de ellos puede ser recubierto con un número entero de segmentos iguales al otro. Pero en su Principio avaló que todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje hacia arriba igual que el peso del fluido que desaloja.

    Galileo Galilei. Levó a la práctica el concepto de método científico de Bacon, extensible a toda ciencia experimental. Demostró que la caída libre de los graves se produce según un movimiento uniformemente acelerado. Sufrió procesos inquisitorios por su libro “Diálogos acerca de los Sistemas Máximos”.


    Galois. Afirmó que "Una ecuación irreducible de grado primo es resoluble por radicales si y solo si todas sus raíces son funciones racionales de dos cualesquiera de las raíces"

    Abel. Declaró en su Memoria "Sobre la Resolución Algebraica de Ecuaciones", que "No existe una fórmula general expresada en términos de operaciones algebraicas explícitas entre los coeficientes que nos dé las raíces de la ecuación si el grado es mayor que 4"

    Lobatchesky y Bolyai Eran dos jóvenes matemáticos, uno húngaro János Bolyai, y otro ruso Nokolai Lobachevsky, publicaron casi simultáneamente su descubrimiento de la geometría hiperbólica, a pesar de que veinte años antes, Gauss había llegado a esos mismos resultados, aunque nunca se atrevió a publicarlos.

    Riemann Dio los fundamentos para una teoría general de las funciones de una variable compleja, afirmándolo en "Las Hipótesis que sirven de fundamento a la Geometría": Las geometrías no euclídeas son no elementales,

    La conjetura de Riemann es : "Todos los ceros complejos de la función zeta tienen parte real igual a 1/2"

    David Hilbert. En sus “Fundamentos de Geometría” abordó la cuestión de la independencia y coherencia lógica de los diversos sistemas de axiomas de la geometría.

    Isaac Newton. Descubrió las leyes de la gravitación universal. Se le debe el cálculo infinitesimal e importantes descubrimientos en óptica. Construyó los anillos de Newton, que eran un fenómeno óptico que se observaba al poner en contacto una superficie plana con una cóncava de gran radio, ambas de vidrio.

    Finalidad de las Matemáticas.


    La finalidad fundamental de la enseñanza de las matemáticas es el desarrollo del razonamiento y la abstracción, así como su carácter instrumental.

    Las matemáticas están vinculadas a los avances que la civilización ha ido alcanzando y contribuyen al desarrollo y a la formalización de las Ciencias Experimentales y Sociales.

    Por otra parte, el lenguaje matemático, es un instrumento eficaz que nos ayuda a comprender mejor la realidad que nos rodea y adaptamos a un entorno cotidiano en continua evolución. En consecuencia, el aprendizaje de las matemáticas proporciona la oportunidad de descubrir las posibilidades de nuestro propio entendimiento y afianzar nuestra personalidad, además de un fondo cultural necesario para manejarse en aspectos prácticos de la vida diaria, así como para acceder a otras ramas de la ciencia.

    La resolución de problemas debe contemplarse como una práctica habitual, que no puede tratarse de forma aislada, sino integrada en todas y cada una de las facetas que conforman el proceso de enseñanza y aprendizaje.

    El ciudadano del siglo XXI no podrá ignorar el funcionamiento de una calculadora, con el fin de poder servirse de ella, pero debe dársele un trato racional que evite su indefensión ante la necesidad, por ejemplo, de realizar un cálculo sencillo mentalmente. El uso indiscriminado de la calculadora en los primeros años de la vida de las personas impedirá que los alumnos adquieran las destrezas de cálculo básicas que necesitan en cursos posteriores. Por otra parte, la calculadora y ciertos programas informáticos, resultan ser recursos investigadores de primer orden en el análisis de propiedades y relaciones numéricas y gráficas y en este sentido debe potenciarse su empleo.

    [i]

    David Go
    Invitado

    precursores del algebra lineal

    Mensaje  David Go el Sáb Nov 20, 2010 7:14 pm

    hola profe le mando lo que pude encontrar David Gonzales Davalos

    Sabías que el álgebra que se estudia en secundaria es muy antigua?

    Aquí encontrarás algunos pasajes de su historia.
    Desde el siglo XVII aC. los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Además resolvían también, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas

    En el siglo XVI aC. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita.

    Alrededor del siglo I dC. los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu ( que significaEl Arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suan zí) tenían la posibilidad de representar números positivos y negativos.

    En el siglo II, el matemático griego Nicómaco de Gerasa publicó su Introducción a la Aritmética y en ella expuso varias reglas para el buen uso de los números.

    En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no sólo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería "la teoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna.

    En el siglo VII los hindúes habían desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar números positivos y negativos.

    Siglo IX. Época en la que trabajó el matemático y astrónomo musulmán Al-Jwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del álgebra. Al - Jwarizmi investigó y escribió acerca de los números, de los métodos de cálculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usada primero para referirse a los métodos de cálculos numéricos en oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquirió finalmente su sentido actual de "procedimiento sistemático de cálculo". En cuanto a la palabra álgebra, deriva del título de su obra más importante, que presenta las reglas fundamentales del álgebra, Al-jabr wal muqabala.

    En el siglo X vivió el gran algebrista musulmán Abu Kamil, quien continuó los trabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avances en el álgebra serían aprovechados en el siglo XIII por el matemático italiano Fibonacci.
    Durante este mismo siglo, el matemático musulmán Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la Arithmetica de Diofanto.

    1202. Después de viajar al norte de África y a Oriente, donde aprendió el manejo del sistema de numeración indoarábigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, publicó el Liber Abaci (Tratado del Ábaco) obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de la aritmética y el álgebra.

    En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los números negativos, introdujo además una notación exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos.

    En 1489 el matemático alemán Johann Widmann d´Eger inventó los símbolos "+" y "-" para sustituir las letras "p" y "m" que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (más) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta.

    En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoy en día:
    Este símbolo era una forma estilizada de la letra "r" de radical o raíz.

    Entre 1545 y 1560, los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de los números imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado.

    En 1557 el matemático inglés Robert Recorde inventó el símbolo de la igualdad, =.

    En 1591 el matemático francés François Viète desarrolló una notación algebraica muy cómoda, representaba las incógnitas con vocales y las constantes con consonantes.

    En 1637 el matemático francés René Descartes fusionó la geometría y el álgebra inventando la "geometría analítica". Inventó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z. Introdujo también la notación exponencial que usamos hoy en día.

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    Re: "Precursores del Álgebra Lineal"

    Mensaje  Admin el Jue Nov 25, 2010 8:18 pm

    Hola a todos y todas;
    He aquí el trabajo de Marilyn, lo encontré en mi correo personal. Lo pongo aquí para que todos podamos ver y hacer vuestros comentarios propositivos.
    Dice asi:

    ...............................................................
    Desde el siglo XVII aC. los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Además resolvían también, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas
    En el siglo XVI aC. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita.
    Alrededor del siglo I dC. los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu ( que significaEl Arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suan zí) tenían la posibilidad de representar números positivos y negativos.
    En el siglo II, el matemático griego Nicómaco de Gerasa publicó su Introducción a la Aritmética y en ella expuso varias reglas para el buen uso de los números
    En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no sólo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería "la teoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna.
    En el siglo VII los hindúes habían desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar números positivos y negativos
    Siglo IX. Época en la que trabajó el matemático y astrónomo musulmán Al-Jwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del álgebra. Al - Jwarizmi investigó y escribió acerca de los números, de los métodos de cálculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usada primero para referirse a los métodos de cálculos numéricos en oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquirió finalmente su sentido actual de "procedimiento sistemático de cálculo". En cuanto a la palabra álgebra, deriva del título de su obra más importante, que presenta las reglas fundamentales del álgebra, Al-jabr wal muqabala.
    En el siglo X vivió el gran algebrista musulmán Abu Kamil, quien continuó los trabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avances en el álgebra serían aprovechados en el siglo XIII por el matemático italiano Fibonacci.
    Durante este mismo siglo, el matemático musulmán Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la Arithmetica de Diofanto.
    1202. Después de viajar al norte de África y a Oriente, donde aprendió el manejo del sistema de numeración indoarábigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, publicó el Liber Abaci (Tratado del Ábaco) obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de la aritmética y el álgebra
    En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los números negativos, introdujo además una notación exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos.
    En 1489 el matemático alemán Johann Widmann d´Eger inventó los símbolos "+" y "-" para sustituir las letras "p" y "m" que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (más) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta.
    En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoy en día:
    Este símbolo era una forma estilizada de la letra "r" de radical o raíz
    Entre 1545 y 1560, los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de los números imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado.
    En 1557 el matemático inglés Robert Recorde inventó el símbolo de la igualdad, =.
    En 1591 el matemático francés François Viète desarrolló una notación algebraica muy cómoda, representaba las incógnitas con vocales y las constantes con consonantes.
    En 1637 el matemático francés René Descartes fusionó la geometría y el álgebra inventando la "geometría analítica". Inventó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z. Introdujo también la notación exponencial que usamos hoy en día.
    .................................................
    Un saludo cordial.

    Ketty


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    Re: "Precursores del Álgebra Lineal"

    Mensaje  Admin el Jue Nov 25, 2010 8:31 pm

    Hola a todos y todas;

    He estado leyendo atentamente la información que seleccionaron y pusieron en este espacio que nos permitió reflexionar sobre aspectos importantes del surgimiento y el desarrollo del algebra lineal, es increible pensar en este largo caminar de como sucedieron algebrizandosé las situaciones y prácticas reales y cotidianas.

    Ahora bien, la preocupación sigue siendo "vuestra terea educativa", en que punto nos situamos?, como estamos enseñando algebra a vuestros estudiantes???... Será posible insistir con el algebra tradicional en estos diás en el que el avance esta a mil kilómetos por segundo????....Podemos pensar en enfocar vuestros contenidos algebraicos desde el algebra lineal????...

    ...¡¡¡¡Es hora de repensar y emprender vuestra práctica educativa desde otro ángulo!!!!... ¿No creen?

    Con esta reflexión, cerramos la temática y damos por concluida la presente actividad. Sin embargo, si alguien quiere presentar algun aporte. Pues, bienvenida que para esto tenemos abierto este espacio.

    Un saludo cordial.

    ...¡¡¡Muchas Gracias por su participación!!!....

    Ketty

      Fecha y hora actual: Jue Oct 30, 2014 3:55 pm