PROGRAMA DE PPMI - 2009

FORO DE INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN PARA PARTICIPANTES DEL PPMI


    Desarrollo del Cálculo

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    Fecha de inscripción : 08/11/2008

    Re: Desarrollo del Cálculo

    Mensaje  Admin el Jue Nov 19, 2009 12:16 am

    Hola a todos y todas;

    Hasta el momento se ve buenos argumentos que apoyan al desarrollo del cálculo en américa.

    ...¡¡¡Recordarles que tambien el otro equipo tiene la palabra!!!...

    Ánimo a todos. Pues, fue positivo ampliar tiempos ...¿¿¿no creen???.....

    Un saludo cordial.

    Ketty

    Milcoh_Eddy Choque-Zenten

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    Fecha de inscripción : 15/11/2009

    DESARROLLO DEL CALCULO EN AMERICA LATINA

    Mensaje  Milcoh_Eddy Choque-Zenten el Jue Nov 19, 2009 6:55 pm

    Hola compañeros les envio estos comentarios espero sus respuestas.
    Los Incas no se basada en nuestro sistema decimal, como se creía hasta ahora, sino en un sistema basado en 40. En los "quipus" se anudaban los resultados de las operaciones matemáticas. Los incas contaban a través de las "yupanas" de derecha a izquierda y partiendo desde la última casilla, que contaría las unidades. Después, la casilla de la fila superior valía 40 y la siguiente 80 y así hasta el infinito, pudiendo calcular cifras enormes.

    En otra palabra una progresión geométrica que reproduce curiosamente el sistema en el que se basan los procesadores de las computadoras. Además el complejo cálculo matemático habría revelado que para los incas no existía la cifra "0" y que un mismo número se podía representar de varias maneras.

    En la muestra, además de algunos ejemplos de "yupanas" se han podido observar los "quipus" donde se hacían los nudos y que servían para reflejar los resultados de las operaciones matemáticas realizadas en las increíbles calculadoras incas.
    Att:Milcoh Eddy Choque Zenteno

    Milcoh_Eddy Choque-Zenten

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    Fecha de inscripción : 15/11/2009

    CULCULO EN AMERICA LATINA

    Mensaje  Milcoh_Eddy Choque-Zenten el Jue Nov 19, 2009 7:15 pm

    Una nueva interpretación del sistema de cálculo de los incas, la yupana, fue revelado por el ingeniero italiano Nicolino De Pasquale quien anunció el descubrimiento de uno de los misterios estudiados por más de 500 años en la muestra Perú, 3.000 Años de Obras Maestras que se realiza en Florencia desde diciembre de 2003. El profesor universitario Pasquale afirma que este sistema estaría en base 40, con lo cual contradice todo lo que se creía hasta ahora, en el sentido de que los antigüos peruanos utilizaban un sistema contable con base decimal. Los incas, que recurrían a la yupana para hacer sus cálculos, operaban de derecha a izquierda y, comenzando desde la última fila que correspondería a las unidades, lograban efectuar cálculos con sorprendente precisión tanto en operaciones sencillas hasta complejos cálculos astronómicos. El doctor Carlos Radicati, en su obra El sistema contable de los incas: yupana y quipu, señala que el estudio del tablero comenzó en 1869 al descubrirse en la provincia de Cuenca, Ecuador, un objeto semejante a la yupana referida por Guamán Poma en 1613 y aludida por el padre Juan Velasco en 1789. Posteriormente fueron registrados hallazgos en las ruinas de Chán-Chán y otros ejemplares fueron descubiertos en la sierra de Ancash y zonas aledañas, así como en la provincia de Pisco. Estas tablas presentaban diferencias en diseño, material con el que estaban elaborados, tamaño, forma y disposición de los escaques o cuadrículas en bajo relieve. Hechas de piedra, arcilla, madera o hueso y mostraban, algunos de ellos, decoración con motivos humanos y animales, todo lo cual reflejaba la existencia de subtipos originarios de diversas regiones del Tahuantinsuyo. En cuanto a su utilidad, se le atribuía tres usos posibles: eran maquetas arquitectónicas, ábacos para cálculo o bien tablas empleadas para los juegos de azar. Pero la hipótesis que tuvo mejor aceptación fue la de Charles Wiener (1877), quien reportó dos tableros de granito parecidos que habían sido encontrados en una ruina de un poblado prehispánico. Estos instrumentos -según Wienner- servían para calcular los tributos que pagaban los ayllus de la zona; en ellos fueron registrados, por medio de granos de diferentes colores, las contribuciones de todos los habitantes de un pueblo, representando cada color una tribu. También presentó una posible manera de realizar el cálculo, afirmando que los pisos de estas especies de depósitos tenían la particularidad de elevar diez veces más el valor del grano que allí se hallaba; de manera que un grano en una división indicaba un valor de contribución, que podía ser diez o cien veces mayor que el de otra división. Esto, inicialmente, fue aceptado por los historiadores, pero luego el mismo Wiener la modificó por otro procedimiento que contenía inconsistencias, por lo que fue dejado de lado. El primer investigador que dio una interpretación a la yupana había sido Henry Wassén (1931), quien sostenía que en este instrumento el valor numeral se expresaba verticalmente y según una progresión decimal que iba de 1 a 10 000. El cálculo se hacía horizontalmente, empleándose una progresión de 5, 15, 30 y 30. Pero esta forma de contar fue considerada poco práctica e imposible por algunos matemáticos, por lo que pronto fue desestimada. Con el transcurso de los años, gran número de historiadores han tratado el tema y, así, mucha tinta ha corrido tratando de descubrir este misterio. Pero, a pesar de ello, a nadie se la había ocurrido cuestionar el sistema decimal, atribuido tradicionalmente al proceso mediante el cual calculaban los antiguos peruanos. Hasta que, hace poco, un ingeniero aeronáutico italiano de 54 años, Nicolino De Pasquale, se atrevió a hacer público un trabajo que ha remecido los cimientos de estos estudios y amenaza con dejar obsoleto todo lo argumentado en favor de los decimales incaicos. Pasquale, quien no sabía nada de este imperio del sur, ha afirmado sin rodeos que el sistema de cálculo incaico es en base al 40, lo cual no deja de ser interesante, sobre todo si se toma en cuenta que los estudios que analizan la cosmovisión inca sostienen que estaba basado en el número cuatro; cuyo mejor ejemplo son los cuatro suyos: Antisuyo, Collasuyo, Chinchaysuyo y Contisuyo. La polémica está abierta.
    esperos sus comentarios.
    Att:Milcoh Eddy Choque Zenteno

    Jesus Quiroz Zabala

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    Fecha de inscripción : 09/11/2009

    Desarrollo del calculo

    Mensaje  Jesus Quiroz Zabala el Miér Dic 09, 2009 5:52 pm

    Jesus Quiroz Zabala escribió:Hoy en día hay que afrontar la titánica tarea de perfeccionar la enseñanza de las ciencias para satisfacer las demandas y desafíos del vertiginoso desarrollo científico-técnico de la sociedad actual y su proyección futura, plantea retos trascendentales a la educación de las nuevas generaciones.. Las aulas deben ser transformadas en centros de aprendizaje abierto que ofrezcan programas de ciencias basados en la práctica, el pensamiento y la realidad. Las tecnologías de información modernas, si son utilizadas en forma apropiada, ofrecen a todos el potencial para poder llegar a alcanzar la vanguardia de la enseñanza de ciencias.
    El pensamiento ocupa un lugar fundamental entre los procesos cognoscitivos. A veces, erróneamente, pensamos que tiene más peso en los grados superiores, sin embargo, las bases para el desarrollo futu­ro del pensamiento se crean desde las primeras edades. Así, las activi­dades de analizar, comparar, diferenciar, relacionar, permiten el desa­rrollo de las posibilidades intelectuales del niño.
    La elaboración de los contenidos matemáticos propicia el desarrollo de capacidades y habilidades intelectuales que contribuyen al establecimiento de procedimientos y operaciones men­tales como el análisis, la síntesis, la comparación y la clasificación.El trabajo de la asignatura contribuye también a la formación de cualidades de la personalidad como la exactitud, la seguridad. La asig­natura requiere un constante trabajo práctico por parte de los alumnos del grado que promueva el análisis, el establecimiento de relaciones numéricas, la solución de ejercicios y problemas, su comprensión, la aplicación a otras situaciones, el gusto por la actividad intelectual y la valoración de su utilidad en la vida.
    IMPACTO EN EL PROCESO DE FORMACIÓN Y DESARROLLO DE HABILIDADES DE CÁLCULO MATEMÁTICO EMPLEANDO SISTEMA DE EJERCICIOS INTERACTIVOS.
    La importancia que tiene el desarrollo de los procesos cognoscitivos en los niños de edad escolar pequeña ya que al principio, en el primer y segundo grado, los alumnos recuerdan con frecuencia, aquello que les produjo una mayor impresión; lo interesante, lo que tiene matíz emocional, lo nuevo; de ahí la necesidad de diseñar actividades que contribuyan a desarrollar estos procesos cognoscitivos; si en los primeros grados las clases son monótonas, si no provocan en los niños una actitud intelectual suficiente, un interés directo, ellos se distraen, se ponen inquietos.
    Numerosas investigaciones han demostrado que en este periodo todos los procesos y funciones psíquicos comienzan a adquirir un carácter externamente mediatizado. Para dominar sus procesos psíquicos, para dirigirlos concientemente, en esta edad, el niño aún necesita algunos medios externos que le ofrezcan apoyo para la organización de dichos procesos. Por eso, los escolares pequeños son capaces de pensar mas coherente en aquellas cosas en que razonan en alta voz. El lenguaje resulta el medio externo sobre el cual se apoya el niño para organizar sus pensamientos.
    Solamente si el proceso de enseñanza aprendizaje se organiza correctamente la memorización y reproducción se transforman en actividad de memoria voluntariamente dirigida; la percepción en actividad de observación; el pensamiento en actividad de reflexión etc; la pedagogía debe basarse en lo nuevo, aunque ello en este proceso sea aun débil. El maestro debe tener en cuenta las posibilidades del escolar para su tarea fundamental, esta consiste en crear las condiciones, para el ejercicio y funcionamiento de nuevas particularidades psíquicas. Sólo en este caso, la enseñanza no irá a la zaga del desarrollo psíquico del escolar, si no, irá delante de este desarrollo, conduciéndolo.
    Un papel importante en el desarrollo de los procesos cognoscitivos y con ello en el aprendizaje, desempeñan los factores motivacionales, el gusto por la actividad de conocer que se vaya logrando en el escolar. Si el aprendizaje es agradable para él, querrá aprender más, y se for­marán gradualmente intereses y motivos cognoscitivos.
    Si en esta actividad el escolar es reconocido y estimulado por el maestro y por sus compañeros, a veces por pequeños logros, se sen­tirá seguro de lo que hace, confiará en sus fuerzas, continuará adelan­te. Si por el contrario no es así, muy difícil le resultará avanzar.
    El niño que cursa el primer grado tiene aproximadamente seis años, en los que ha acumulado determinada experiencia anterior producto de la cual puede encontrarse más o menos preparado para realizar la activi­dad docente. Este grado marca el inicio de la vida escolar, lo que exige del niño una actividad diferente a la que venía realizando aun en los casos en que ha recibido preparación. Generalmente el niño desea ir a la escuela, usar el uniforme, ser un escolar, un pionero.
    La etapa de la vida, desde los seis hasta los once o doce años se conoce como etapa o edad escolar, ya que la actividad de aprender, la actividad docente, ocupa el centro de la vida del niño y favorece un conjunto de transformaciones fundamentales en él.
    Es conveniente destacar que, en las etapas iniciales del curso, el escolar de primer grado apenas se diferencia del niño de preescolar, lo que requiere gran cuidado por parte del maestro en la introducción paulatina de los requerimientos del grado. A esto responde, la etapa de aprestamiento que se plantea a inicios del grado, el propósito de crear las condiciones necesarias para un buen aprendizaje. El maestro organizará esta etapa en función de las condiciones reales de su grupo, teniendo en cuenta los resultados del diagnóstico de preescolar.
    En estas edades tienen lugar sustanciales cambios anatómicos y fisiológicos; por lo cual se debe ser cuidadoso en los tipos de ejercicios que se proponen, su duración y la velocidad que se exige, para evitar la fatiga de los alumnos y la afectación de los resultados esperados.
    Las características del sistema nervioso, el tránsito de los proce­sos psíquicos de involuntarios a voluntarios y el nivel de desarrollo que el niño ha alcanzado hasta ese momento, ejercen una fuerte in­fluencia en su actividad de aprender. La percepción, la memoria, el pensamiento, el lenguaje, la imagi­nación son procesos de gran importancia para la actividad de aprendi­zaje del niño, y que al mismo tiempo se desarrollan en el proceso de asimilación de la experiencia.
    En igual forma, todo el proceso de desarrollo de la percepción auditiva es fundamental. Los sonidos son a veces similares, hay que escucharlos y pronunciarlos bien, para distinguirlos y para utilizarlos correctamente. El apoyo que se logra con el análisis fónico es de gran utilidad.
    La asignatura Matemática, en el primer grado, trata sobre los números naturales hasta 100, incluyendo actividades de cálculo, especialmen­te ejercicios básicos de adición y sustracción límite 10 y su transfe­rencia a los ejercicios límite 20, así como nociones sobre la multiplica­ción mediante el trabajo con conjuntos. Incluye distintas formas de ejercicios sencillos con variables, así como problemas y ejercicios con texto.
    Un objetivo de gran peso en el programa es el dominio de los ejercicios básicos, lo que significa que los alumnos los memoricen sobre la base de conocimientos y habilidades adquiridos anteriormen­te, significa también que conozcan procedimientos de solución de dis­tintas formas de ejercicios, así como el cálculo de ejercicios de otras exigencias con la soltura y rapidez que se muestra cuando ya una habilidad se ha automatizado.
    La realización adecuada de estas actividades por parte de los educandos contribuye a fortalecer su deseo de aprender, de saber más, de conocer, es decir, va creando motivos e intereses cognoscitivos en los alumnos.
    Desde el primer grado, la clase de Matemática brinda un aporte importante al cumplimiento de los objetivos educativos. El éxito que experimenten los escolares en el aprendizaje de la asignatura y el estímulo utilizado conscientemente por el maestro los motivará a estudiar con placer.
    La clase de Matemática en este grado se debe caracterizar por una atmósfera de alegría por el aprendizaje. A ello tiene que contribuir la presentación de situa­ciones interesantes adaptadas a las vivencias del escolar de esta edad, que lo motiven en el proceso de obtención de nuevos conocimientos y en el desarrollo de habilidades. Partiendo de las ilustraciones del libro de texto, el maestro puede tener ideas de estas situaciones, o elaborar otras que él considere que se vinculen más con la vida de sus alumnos.
    Los juegos didácticos además de crear un ambiente agrada­ble, deben contribuir a la asimilación del contenido matemático y, mediante su ejercitación, al desarrollo de habilidades específicas. Muchos buenos maestros han elaborado juegos didácticos interesantes que se han incluido en los materia­les docentes. Especialmente valiosas resultan las formas agradables y con elementos de juego que se utilicen, al plantear ejercicios en los que las ilustracio­nes tengan relación con los intereses del alumnado.
    En este grado deben existir momentos de consoli­dación en todas las clases, especialmente de ejercitación, para la fijación de los conocimientos y el desarrollo de habilidades matemáticas. Los ejercicios que se le plantean a los niños deben ser variados, así como que varíen las formas de plantearlos, solucionarlos y controlarlos. Esto es importante para evi­tar la fatiga del escolar.
    La correcta orientación hacia el objetivo es muy importante, ésta no puede confundirse con la información del objetivo. Esta orientación debe realizarse mediante indicaciones claras, que despierten el interés del alumno y lo orienten a conocer qué se espera como resulta­do de las actividades que realice.
    En el primer grado es preciso un enfoque diferenciado en la ense­ñanza. El maestro debe considerar tanto a los alumnos que han de recibir ejerci­cios adicionales porque terminan más rápido, como a aquellos que necesitan una mayor ayuda para resolver el ejercicio planteado, sin necesidad de separarlos o formar subgrupos dentro del aula. Es de suma importancia la selección de la tarea para la casa. También debe tener en cuenta este tratamiento diferenciado de acuerdo con las condiciones del grupo.
    En la enseñanza de la Matemática en los primeros grados, hay que tener en cuenta constantemente el gran valor del principio de la unidad de lo concreto y lo abstracto. A ello realiza un gran aporte el trabajo con conjuntos, en la elabora­ción de los conceptos.
    El tratamiento de la nueva materia debe apoyarse en el trabajo con los medios de enseñanza, garantizando el tiempo necesario en su utilización y en correspon­dencia con las diferencias individuales de acuerdo con el resultado del diagnóstico. Cuando ya el alumno comprenda, resulta necesario prescindir gradualmente de ellos, pasando a la verbalización, condición fundamental para la memorización.
    Los medios permiten en la mayoría de los casos, llegar a un resultado cuan­do los alumnos aún no dominan el procedimiento y facilitan el proceso de abs­tracción, así como el análisis de la actividad de cada alumno y su control. No obstante, es necesario lograr que los escolares sean capaces de trabajar en el pla­no de los números, en el plano mental, sin emplear los medios de trabajo. Ellos tienen que estar conscientes de esta exigencia, especialmente en el proceso de memorización de los ejercicios básicos de adición y sustracción hasta 10.
    Son múltiples los medios de enseñanza que podemos utilizar en la clase de Matemática, pero en este trabajo queremos resaltar uno de los más bondadosos en la actualidad, el ordenador. Los educadores tenemos que comprender sus posibilidades en el proceso educativo, en la formación y desarrollo de habilidades intelectuales y sus potencialidades para colaborar en el aprendizaje real de los educandos, conforme a los requerimientos para la aplicación de las nuevas tecnologías de la información y las comunicaciones en este proceso.
    Es importante que los alumnos ejerciten sus conocimientos y habilidades sistemáticamente, detecten sus errores y traten de rectificarlos de manera productiva. Una de las mejores formas para lograrlo es mediante el uso del ordenador, pues los escolares se ven motivados a interactuar con el mismo.
    Precisamente apoyados en todo lo expuesto anteriormente, y respondiendo a una de las problemáticas de la Educación Primaria actual, en el proceso de enseñanza – aprendizaje de la matemática: la formación de habilidades de Cálculo en Primer grado, se procedió al diseño de una multimedia interactiva para desarrollar habilidades de cálculo matemático. En la confección del sistema de ejercicios y el software se han tenido en cuenta los elementos abordados hasta el momento en este trabajo así como los fundamentos psicopedagógicos de los niños y los relativos a la formación de las habilidades de cálculo para el primer grado de la enseñanza primaria apoyados en el empleo de ordenadores.
    Las propuestas de actividades variadas o alternativas de trabajo sustentadas en el software, le facilitan al maestro el tratamiento metodológico del cálculo aritmético: propicia una interacción cognoscitiva motivada del niño con la ejercitación propuesta informando constantemente de lo acertado o no de sus respuestas, además el entrenador les permite ejercitarse de forma infinita, evaluando y contabilizando sus desempeños académicos.

    Jesus Quiroz Zabala

    Mensajes : 5
    Fecha de inscripción : 09/11/2009

    Desarrollo del calculo

    Mensaje  Jesus Quiroz Zabala el Miér Dic 09, 2009 5:58 pm

    teórica de la propuesta
    La enseñanza del Cálculo y del análisis ha pasado por cambios a lo largo de los últimos años. Estos cambios dejan una variedad de enfoques que han considerado los fundamentos de la matemática como principios rectores de la enseñanza de los conceptos claves que necesariamente
    requieren de los infinitesimales para su abordaje (límite, continuidad, entre otros). Diversos autores han analizado este componente pedagógico, algunos a nivel global como Tall (1981, 1992) y otros a nivel local como Artigue (2000) y Cantoral y Farfán (2000). Sin querer jerarquizar ni fragmentar los componentes del triángulo didáctico mencionados en la introducción, comenzaré por el pedagógico.Los enfoques en la enseñanza del Cálculo: lo pedagógico
    Para Tall (1992), el Cálculo tiene una variedad de significados en diferentes países, en los que se ha trabajado con dos enfoques diferentes: el enfoque infinitesimal (basado
    en el análisis no estándar) y el de Cálculos con o sin programación (tales enfoques fueron detallados por Tall en 1981). Por tanto, los enfoques según Tall, van desde un Cálculo informal que gira alrededor de las ideas informales
    de razón de cambio y de los roles de la diferenciación e integración como procesos inversos, Cálculo de áreas, volúmenes
    y aplicaciones de las integrales, hasta un Cálculo formal que gira alrededor de la idea de completitud de la definición ε - δ de límite (Weierstrass), de continuidad, diferenciación, integrales de Riemann y deducciones formales
    de teoremas tales como el teorema del Valor Medio y el teorema Fundamental del Cálculo.
    Estos diferentes significados, según Tall, son los que han generado las dificultades que se reseñaron en los párrafos precedentes. Sin embargo considera el enfoque dinámico de límite, como el más adecuado para que el estudiante
    se inicie en el Cálculo.
    Tall (1981) considera seis enfoques diferentes que se han dado a la enseñanza del Cálculo en diferentes países: (a) el antiguo método infinitesimal intuitivo de Leibniz, donde los infinitesimales son considerados cantidades; (b) el método dinámico de límite, muy similar al anterior pero ahora los infinitesimales son considerados funciones; (c) el método numérico, donde la derivada puede calcularse
    para un valor específico de x, el infinitesimal es visto como el valor numérico de una variable; (d) el método del dibujo en el ordenador, este enfoque muestra que parte de la gráfica no puede distinguirse de una línea recta; específicamente,
    la tangente a la curva en x, no puede diferenciarse
    de la gráfica en sí misma. El infinitesimal es visto como un indivisible; (e) el método épsilon-delta, especifica
    a qué distancia debe estar el cociente de f ’(x), es decir, [f(x + h) – f(x)] / h para calcular la próxima distancia a la que debe estar h de cero; el infinitesimal es desterrado del Cálculo; y (f) el método infinitesimal, este método sigue al de Leibniz pero usando la lógica moderna. Tall resumen estos enfoques de la manera siguiente:
    Todas las consideraciones que se han tenido acerca de cada uno de los enfoques, se deben lógicamente a la forma
    anticuada en que se da el Cálculo en la escuela, y propone
    que esta forma de Cálculo, debidamente interpretada,
    es matemáticamente correcta y constituye la mejor base para iniciarse en el Cálculo. (Tall, 1981: p.16).
    Por otra parte, Artigue hace la misma distinción de Tall. Reseña la evolución de los contenidos del Cálculo, desde 1902 hasta la última reforma de 1982, pero sólo en Francia. Artigue al remontarse a 1902, señala cómo en
    Carmen María Valdivé Fernández: Los infinitesimales en el cálculo: un punto de vista sistémico.

    Artículos
    esa época hubo una introducción generalizada del Análisis,
    basada en la enseñanza intuitiva (sin el uso de los infinitesimales del Cálculo diferencial e integral) considerándolo
    un Cálculo estándar. En 1960, según Artigue, el estructuralismo se vuelve dominante, el enfoque de los conceptos función, límite y continuidad se hace a través del uso de los cuantificadores. El análisis se vuelve formal y teórico.
    Al comienzo de la década de los 80, se estudia la matemática como una ciencia construida, dependiendo de los contextos históricos y culturales. A raíz de esto último, la comisión inter IREM de 1981 enuncia una serie de proposiciones
    donde conceden prioridad a la enseñanza bajo un Cálculo informal- intuitivo, volviendo central la noción
    de derivada y casi haciendo desaparecer la noción de continuidad. Este Cálculo se vuelve un campo donde los procesos de aproximación desempeñan un papel esencial.
    A raíz de los acontecimientos a nivel mundial descritos
    (Artigue, 2000; Tall, 1992) y al analizar los enfoques de la enseñanza formal e informal del Cálculo, surge en Latinoamérica (en 1982) una nueva perspectiva que incorpora
    los cuatro componentes de la construcción del conocimiento: su naturaleza epistemológica, su dimensión
    sociocultural, los planos cognitivos y los modos de transmisión de la enseñanza a nivel superior (Cantoral y Farfán, 2000).
    El enfoque teórico latinoamericano incorpora, como ejemplo, un modelo genérico de enseñanza universitaria basada en la noción de predicción de los fenómenos, apoyada
    en el binomio de Newton. Este modelo toma como centro del diseño de instrucción, las nociones de curva y analiticidad. Le sirve de soporte el objeto matemático, serie
    de Taylor (Cantoral, 2001). Sin embargo, este modelo genérico sería insuficiente para abordar temas complejos que no se ubiquen en la matemática aplicada.
    En síntesis, la variedad de enfoques en las diferentes épocas ha dejado una serie de dificultades en la comprensión
    por parte de los estudiantes, de los conceptos claves del Cálculo, conceptos que según los principios básicos de la enseñanza fueron considerados los organizadores del Análisis:
    (a) Cálculo alrededor del infinitesimal y la diferencial (sin los infinitesimales) dejando un análisis empírico y pragmático,
    (b) Cálculo alrededor de los conceptos de función, límite y continuidad, dejando un análisis teórico y formal y (c) Cálculo con enfoque intuitivo haciendo énfasis en los procesos de variación, optimización y aproximación.
    Ante la panorámica analizada sobre algunos enfoques,
    es necesario evocar los aportes que ha dado Tall, en cuanto a la enseñanza y aprendizaje de algunas nociones complejas del Cálculo y que se deben considerar a la hora de decidir el más adecuado.
    Tall (1991) hace referencia a la enseñanza de los conceptos complejos del Cálculo. Indica el autor que en la enseñanza con adolescentes se debe poner énfasis en el proceso de síntesis, pues éste se inicia con el ejercicio de la intuición, fase en la que el estudiante reúne ideas y que posteriormente, a nivel universitario, la enseñanza debe estar enfocada hacia el análisis. El estudiante con ayuda del profesor debe organizar las nuevas ideas en forma lógica
    y posteriormente refinarlas para dar deducciones y argumentaciones exactas.
    Como se puede observar, paralelamente al problema pedagógico se atiende a la problemática de la naturaleza
    de los conceptos matemáticos en función de los fundamentos
    de la matemática y, por tanto, cómo debían ser aprendidos por los alumnos. Se analiza a continuación, la problemática desde los componentes cognitivo, epistémico
    y sociocultural.Una teoría psicología del aprendizajede la matemática: lo cognitivo
    Para abordar la problemática Tall (1981, 1991, 1994, 1995) y Artigue (2000) entre otros, resumen las dificultades
    que presentan los estudiantes al enfrentarse al campo conceptual del Análisis Matemático, detectadas a través de investigaciones empíricas. Artigue, al dar una visión de lo que se refiere a los procesos de aprendizaje en ese campo conceptual, muestra que las dificultades se pueden ubicar según tres categorías: (a) Las ligadas a la complejidad
    de los objetos, (b) las ligadas a la conceptualización de la noción de límite y (c) a la necesaria ruptura con modos
    de pensamiento característicos del funcionamiento algebraico.
    En lo que respecta a las dificultades para la comprensión
    de los conceptos del Cálculo y, como se podría inferir, para la adquisición de los infinitesimales por parte de los estudiantes por ser un concepto complejo, están las que se ubican en torno a las nociones de función (proceso-
    objeto; diferentes registros de representación) y límite (obstáculo-el sentido común de la palabra límite, sobre generalización
    de los procesos- dimensión proceso-objeto; característica del concepto-de lo intuitivo a lo formal).
    Otras dificultades se deben a las restricciones de las imágenes mentales sobre la noción de función, a la notación de Leibniz, a la selección y uso apropiado de representaciones, a la manipulación algebraica y de los cuantificadores en las definiciones. Dificultades en torno al proceso de límite como intuitivo en el sentido matemático
    y no psicológico, dificultades debidas a los diferentes enfoques que han existido en torno a la noción de infinitesimal
    y al desarrollo de los contenidos de los programas de los cursos de Análisis en cada década.

    Artículos
    dónde va el aprendizaje y la enseñanza del Cálculo (Artigue,
    2000; Tall, 1985, 1992). Trabajos que pretenden contribuir, desde la psicología, filosofía, historia y socioepistemología,
    al debate que, a lo largo de la historia, se ha generado específicamente en torno al infinito matemático. (D’Amore, 1996, 1997; Garbin, 2005; Tall, 2001).
    Tall, al observar y encontrar las dificultades señaladas
    anteriormente, construye junto a Dreyfus una teoría psicológica del aprendizaje de la matemática, específicamente
    de la matemática avanzada. Matemática donde los objetos matemáticos básicos no son nuevos para el estudiante (función, número real) pero que no se pueden considerar estabilizados en su mente, de aquéllos y que es el Análisis quien va a jugar un papel esencial en su maduración
    y conceptualización.
    En la teoría psicológica del aprendizaje de la Matemática
    (PMA), específicamente de la matemática avanzada o en el Análisis, han de hacerse algunas consideraciones. Por un lado, acerca de los procesos de pensamiento que usa un estudiante cuando está realizando tareas cognitivas que involucran los infinitesimales y, por el otro, acerca de la enseñanza que promueva los procesos cognitivos de síntesis y análisis en los alumnos.
    Se hace necesario hacer la distinción que se establece
    entre el pensamiento elemental y avanzado en función de la complejidad de los conceptos, y más aún cómo es tratada tal complejidad; es decir, cómo es enfocada la enseñanza,
    buscando a lo largo de la historia del Cálculo los elementos caracterizadores.
    Al respecto, Calvo (2001) establece las diferencias que existen entre la enseñanza de la matemática elemental
    y la avanzada, encontrando ciertas características que las diferencian como lo son: (a) según los conceptos que tratan, (b) los procesos de pensamiento que intervienen, (c) según los estudiantes y (d) según las estrategias de enseñanza
    utilizadas. Entendiendo por “etapa elemental” a aquella que tiene lugar en las clases de matemática hasta secundaria obligatoria y por “etapa avanzada”, la que tiene
    lugar en la enseñanza de la matemática universitaria. Entre ambas etapas se ubica una de “transición” que aparece
    en diferentes momentos y situaciones.
    Según Calvo, las diferencias esenciales en cuanto a los conceptos que se tratan es que los conceptos tratados en matemática avanzada son, en su mayoría, producto de la evolución de conceptos elementales que puede representar
    un período difuso y difícil de describir. En cuanto a los procesos de pensamiento que intervienen, básicamente,
    son los mismos: abstracción, análisis, categorización, conjeturación, definición, formalización, generalización y demostración, pero lo que varía es la frecuencia de su uso en cada etapa.
    En cuanto a las características de los estudiantes en la etapa elemental, Calvo indica que la responsabilidad del aprendizaje, generalmente, recae en el profesor; mientras que en la etapa avanzada los estudiantes toman parte de esta responsabilidad. Por último, señala la autora en relación
    a las estrategias de enseñanza utilizadas, que en la etapa elemental se hace énfasis en actividades algorítmicas
    y que las definiciones son descripciones de los conceptos,
    tomando como base a la experiencia; en cambio en la etapa avanzada se tiende a construir definiciones formales y hacer demostraciones.
    Se podría inferir que el cambio de estatus de los objetos
    matemáticos y de los procesos de pensamiento utilizados
    por el estudiante para aprender tales objetos, así como el cambio de las actividades de enseñanza, ofrece una alternativa para considerar las relaciones entre la matemática
    elemental y la avanzada.
    En cuanto a cómo tratar el cambio de estatus de los objetos matemáticos y de los procesos de pensamiento, en la teoría psicológica propuesta por Tall y Dreyfus se postulan
    una serie de principios y corolarios cognitivos sobre la naturaleza de la comprensión de la matemática y sobre cómo enseñar pensamiento matemático reflexivo. Tall (1994) indica que existen varios métodos para comprender en matemática: (a) representando visualmente la información,
    ya que las imágenes como los diagramas y las gráficas proporcionan una gran cantidad de información para ser incorporados en una sola idea. La mente humana escoge propiedades implícitas de las imágenes y las incorpora al esquema conceptual; (b) usando símbolos para representar información, ya que el símbolo es tratado como un objeto matemático y en sí mismo es manipulado como un objeto mental, y (c) poner el foco de atención de los objetos en la estructura de sus propiedades y relaciones.
    Según Tall (1994), los estudiantes no tienen bien desarrolladas
    las estructuras cognitivas, por lo que son engañados
    por las falsas imágenes. Los estudiantes tienen sus propios esquemas conceptuales asociados a los conceptos, esquemas desarrollados a través de sus propias experiencias
    previas (Tall y Vinner, 1981; Tall, 1994, 2001).
    Tall infiere que tales imágenes como los diagramas y las gráficas, proporcionan una gran cantidad de información.
    El uso del software al ser manipulado por el usuario con el objeto de ver relaciones dinámicas, hace poderosa la visualización de los conceptos matemáticos. El software sirve para abordar, entre otras, la idea no estándar del infinitesimal,
    haciendo posible una aproximación visual de las nociones de diferenciabilidad y ver microscópicamente una línea con infinitesimales. Con esto, Tall muestra hacia dónde va la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo.
    Carmen María Valdivé Fernández: Los infinitesimales en el cálculo: un punto de vista sistémico.

    Artículos
    Por otro lado, Dreyfus (1991), quien junto con Tall participa en la elaboración de la teoría psicológica del aprendizaje de la matemática avanzada, indica que los procesos que permiten tratar los conceptos avanzados como los que se indicaron en los párrafos precedentes, son en particular, la abstracción y la representación. Mediante estos dos procesos, el alumno puede moverse de un nivel a otro y así manejar la complejidad de los conceptos.
    Sin embargo, Dieudonné (citado por Artigue, 2000) expresa que los procesos fundamentales para el análisis son aproximar, subestimar y sobrestimar, pues los objetos se trabajan muchas veces con propiedades locales dando un papel predominante a la desigualdad y al modo de razonamiento
    local, como es el caso de la igualdad, la cual está asociada a la idea de proximidad local finita (∀ε > 0, d(A, B) < ε entonces A = B).
    En síntesis, podría decirse que cualquier teoría del aprendizaje matemático debe tomar en cuenta no sólo las ideas previas de los estudiantes sino que debe ser vista dentro del más amplio contexto de la actividad humana (su razonamiento
    funcional, analítico, algebraico, numérico) y cultural (pragmática, formal, intuitiva o una mezcla de ellas).
    Ahora bien, si bien es cierto que se ha de considerar cómo es enfocada la enseñanza de ciertas nociones matemáticas,
    y cómo se llega a su comprensión, no es menos cierto que se deba dilucidar la evolución de la noción o concepto para interpretar factores determinantes de los procesos de construcción El estudio de la evolución histórica y epistemológica
    de un concepto puede dar luz de cómo nace y se desarrolla, cómo se plantean y construyen los procedimientos
    relacionados y qué limitaciones conceptuales aparecen en el aprendizaje de la noción (Crespo, 2006).
    El estudio de la evolución histórica de la noción de infinitesimal en particular, tiene utilidad ya que permite diferenciar las ideas, los métodos, las representaciones, el contexto y los conceptos asociados a la noción en una época histórica a partir del trabajo realizado por los matemáticos
    representativos, razón que permite abordar el tercer
    componente del triángulo didáctico: el punto de vista epistemológico.

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    Re: Desarrollo del Cálculo

    Mensaje  Admin el Jue Feb 11, 2010 10:26 am

    Hola a todos y todas;

    Estimados participantes del sexto semestre matemática secundaria. ...¡¡¡Retomamos vuestras actividades a distancia por este espacio y en esta temática!!!...

    Los aportes anteriores son de vuestros colegas del cuarto semestre. Daremos continuidad sobre la base de lo trabajado con ellos, aportando de manera individual y hasta el día 20 de febrero sobre el desarrollo del cálculo hasta vuestros días y las ventajas de la integral definida para el cálculo de áreas, volúmenes de recintos acotadas entre curvas.

    Si hay dificultades no duden de contactarse conmigo que estoy a su disposición.

    Un saludo cordial.

    wildercarlo

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    Re: Desarrollo del Cálculo

    Mensaje  wildercarlo el Dom Feb 21, 2010 6:03 pm

    esta es la participación del Prof. Alejandro Bacarreza del sexto semestre de matematica.
    Hola Licenciada Constantina y compañeros del sexto y amigos del tercer semestre, yo voy ha opinar acerca de las integrales definidas.
    La tecnica de las integrales definidas se vienen desarrollando desde el siglo XVII, lo cual se desarrollo junto con las derivadas y el calculo diferencial.
    Las ventajas de las integrales definidas son: se puede hallar el área de cualquier figura de forma irregular, como tambien los volumenes de los solidos de revolución.
    Además las integrales definidas se pueden aplicar al área de la fisica, electricidad y todas las ramas de la ingenieria.
    La desventajas de la integrales definidas son: si no aplicamos correctamente las formulas tanto del calculo de áreas y volumenes de cualquier figura los resultados pueden ser erroneos.
    Esto es lo que puedo decir acerca de las integrales definidas.
    Mi correo es alejandrobacarreza2009@hotmail.com
    Me despido reiterandole mis saludos cordiales, hasta otra oportunidad..........


    Última edición por wildercarlo el Dom Feb 21, 2010 6:28 pm, editado 1 vez

    wildercarlo

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    Re: Desarrollo del Cálculo

    Mensaje  wildercarlo el Dom Feb 21, 2010 6:19 pm

    Hola licenciada Constantina y compañeros del sexto semestre. Mi nombre es Wilder Carlo Chavarria y voy a aportar algo más acerca de las integrales definidas y los diversos calculos que uno puede realizar.
    Como ya indico mi compañero Alejandro Bacarreza es muy importante la aplicación de las integrales en el mundo del calculo integral.
    La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
    Lo anterior nos habla del calculo de una área cualquiera de una curva o de una recta.
    Además si se desea conocer el área total de una laguna que presenta una forma irregular es en este momento que podemos utilizar la integral definida.
    ¿Por qué se dice que es integral definida?
    Porque uno puede definir los limites para realizar el calculo de lo que uno desea saber o conocer.
    Pues además las integrales van relacionados al calculo de volumenes de revolucion como ya dijo mi compañero, y tambien se puede hacer una relacion con las otras formas de calculo de areas, ya que las integrales es una forma, pero tambien existen otras.

    Muy bien licenciada y compañeros esto es mi aporte a este tema espero que lo critiquen constructivamente y no nos olvidemos de nuestras actividades a realizar.
    Nos encontramos en la fecha indicada..........Hasta muy pronto

    wildercarlo

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    Re: Desarrollo del Cálculo

    Mensaje  wildercarlo el Dom Feb 21, 2010 6:39 pm

    Este es el aporte del Prof. German Cruz Villca, de San Javier

    Hola compañeros de grupo del sexto semestre de la especialidad de matemáticas, este es mi aporte acerca de la integral definida asiendo un poco de historia acerca de la integral.

    La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
    Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

    es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.
    La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.
    Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.
    Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.
    Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las de la electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue
    Disculpe licenciada por enviar por este medio, pero me doy cuenta que ya estamos entendiendo mejor acerca del tema de las integrales.

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    Re: Desarrollo del Cálculo

    Mensaje  Admin el Lun Feb 22, 2010 12:44 pm

    Hola todos y todas;

    ...¡¡¡Felicitarles por su participación a Wilder, Alejandro y Germán!!!...

    Sus aportes apuntan a conceptualizar lo que es una intergral definida y sus ventajas en el cálculo de áreas y volúmenes vista desde la historia.

    Estamos a la espera de los aportes de otros compañeros a manera de intercambiar criterios e ir construyendo conocimientos.

    Por lo que ....¡¡¡Más ánimo!!!... a todos.

    Un saludo cordial.

    Ketty

    Ciro Aya
    Invitado

    tema 3

    Mensaje  Ciro Aya el Mar Feb 23, 2010 8:08 am

    La ventaja que nos brinda el empleo de las integramaes es que podemos realizar cálculos para encontrar el volumen y áreas de figuras y objetos que tienen formas irregulares, tambien para calcular distancias.
    Sabemos que en nuestro diario vivir nos encontramos con un sin fin de situaciones a las que son necesarias dales solución y gracias al uso de este tipo de cálculo lo podemos realizar

    Un saludo
    Ciro Ayala

    Dilsa
    Invitado

    Tema 3

    Mensaje  Dilsa el Mar Feb 23, 2010 8:26 am

    Las integrales definidas es de propiedad de los griegos éstos matemáticos después de muchos siglos de especulación determinaron el área de un circulo .
    Sabemos que las integrales son de gran aporte en nuestros días, ya que nos permiten determinar área que es la magnitud que mide de algun modo el tamaño de una región acotada, es decir cuanto mide una superficie, nos permite determinar volumenes de cuerpos y figuras que tienen formas irregulares.
    Sin duda que uno de los problemas que más repercusión ha tenido en la historia de las matemáticas es el estudio del área encerrada bajo una curva pero fue gracias al uso de las integrales se puede calcular

    Dilsa Dorado

    Elicia P
    Invitado

    Calculo 3

    Mensaje  Elicia P el Miér Feb 24, 2010 12:55 am

    Un gran saludo
    Distinguida Licenciada Ketty
    estimados compañeros

    Introducción Historica
    Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración
    Cauchy y posteriormente Riemann en el siglo XIX y Lebesgue a partir de siglo XX, han sido los matemáticos a cuyos esfuerzos se deben los sucesivos refinamientos que ha tenido la teoría de las integrales.

    Ya en este siglo surge la teoría de la medida como continuación natural del cálculo Integral. Se emplea para resolver problemas tales como el cálculo de longitudes de curvas, áreas limitadas por curvas y volúmenes limitados por superficies curvas.

    El cálculo de áreas de figuras como el cuadrado, el rectángulo, el rombo, etc., además de sencillo tiene un claro significado: el área de una figura es un número que coincide con el de cuadrados de lado unidad que recubren exactamente la figura. Se puede cuestionar entonces si cualquier figura tiene área y cómo se calcula.

    Es claro que este problema carece de toda dificultad. No obstante, se puede aprovechar su simplicidad para intentar obtener algo útil en otros casos menos sencillos.

    Consideremos como ejemplo una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales. Al comienzo puede ser suficiente con aproximaciones prácticas, pero al final harán falta respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas.

    Elicia

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    Re: Desarrollo del Cálculo

    Mensaje  Admin el Jue Feb 25, 2010 5:46 pm

    Hola a todas y todas;

    He estado leyendo con mucha atención a la participación de vuestros compañeros Ciro, Dilsa Y Elicia.

    Apuntan a la aplicabilidad práctica de la integral definida en la determinación de superficies y volúmenes de recintos acotados por curvas.

    Valorar el aporte de Elicia que hace referencia histórica al desarrollo del cálculo, esto implica que hay trabajo investigativo poe que se percibe la búsqueda de información selección y apropiación de aquello....
    ...¡¡¡Pelicidades!!!!..., a todos los que hasta ahora han participado y seguimos a la espera del resto de vustros compañeros.

    Un saludo cordial.

    Ketty.

    wildercarlo

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    Re: Desarrollo del Cálculo

    Mensaje  wildercarlo el Sáb Feb 27, 2010 1:01 pm

    ESTE ES EL TRABAJO DEL PROFESOR LUCIO COPACONDO DE MAIRANA

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    Re: Desarrollo del Cálculo

    Mensaje  Admin el Vie Jun 18, 2010 4:21 pm

    Hola a todos y todas;

    Aún seguimos esperando los aportes de los compañeros de sexto C, ya para ir cerrando la presente temática.

    ...¡¡¡Más ánimo en el desarrollo de las actividades!!!!.... Estamos a pocos dias de concluir el semenstre.

    Un saludo cordial

    Ketty

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    Re: Desarrollo del Cálculo

    Mensaje  Admin el Vie Jun 18, 2010 4:33 pm

    Hola a todos y todas;
    He aquí el trabajao de Wilfredo Miranda, encontre en mi correo y lo traje por que es aquí donde debe estar pata compartir entre todos dice asi:------------------------------------------------------------------

    PARTICIPANTE: WILFREDO MIRANDA MORALES
    PPMI - 2010
    TEMÁTICA: DESARROLLO DEL CÁLCULO
    TRABAJO NO PRESENCIAL HABLEMOS AL FORO
    CÁLCULO EN SU PRIMER NIVEL

    ¿Cuáles son las bondades de las integrales?
    Las bondades que brindan las integrales son muy numerosas.
    El problema del área es el central del cálculo integral con las técnicas aplicadas se pueden hallar áreas, los volúmenes de sólidos, la longitud de una curva, la fuerza del agua contra la cortina de una presa, el trabajo al bombear agua hacia afuera de un tanque, etc.
    Es indudable el procedimiento para encontrar la función a partir de su derivada es de inmenso valor, más valioso que el procedimiento básico de determinar derivadas a partir de fórmulas.
    La importancia que caracteriza al cálculo integral es la inversa de la que fundamenta el cálculo diferencial, que es la de determinar la función partiendo de la derivada.
    El gran avance del cálculo integral fue en el siglo XVII, cuando se observó que la derivada de una función que expresa el área entre una curva y=f(x) y el eje OX vale f(x) esto se suele llamar el Teorema fundamental del cálculo, es un método muy general para hallar tal área y con él un sin fín de aplicaciones en muchos campos de la ciencia.
    Hasta el siglo XVII fue cuando Barrow se dio cuenta de que la derivada de la función que da el área bajo la curva es la función misma que representa la curva.
    --------------------------------------
    UIn saludo cordial.

    Ketty

    Andrei Añez Arias

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    DESARROLLO DEL CÁLCULO

    Mensaje  Andrei Añez Arias el Dom Jun 20, 2010 5:30 pm

    BONDADES DEL CÁLCULO, LAS COSAS MÁS POSITIVAS.
    HOLA, AMIGOS, QUIERO COMPARTIR CON UDS.ALGUNOS CONCEPTOS, QUE ESTOY SEGURO YA SE LOS SABEN Y SI NÓ, PUES QUE SIRVA DE AYUDA INFORMACIÓN QUE SIEMPRE ES NECESARIA, SOBRE EL CÁLCULO.
    PRIMERO, QUE LA INTEGRAL DEFINIDA SIRVE PARA ENCONTRAR LA ANTIDERIVADA, LA INTEGRAL DEFINIDA PARA ENCONTRAR ÁREAS BAJO UNA CURVA, LA INTEGRAL DOBLE PARA ENCONTRAR ÁREAS TAMBIÉN, PERO ENTRE DOS CURVAS, Y LA INTEGRAL TRIPLE PARA ENCONTRAR VOLÚMENES DE CUERPOS. LA DERIVADA ES MUY ÚTIL PARA OBTENER VELOCIDADES O ACELERACIONES Y PENDIENTES DE UNA RECTA. LAS SUCESIONES Y LAS PROGRESIONES EXPLICAN CONCEPTOS DEL COMPORTAMIENTO DE LA NATURALEZA COMO POR EJEMPLO, LAS HOJAS DE LOS ÁRBOLES QUE ESTÁN COLOCADAS EN SUCESIÓN QUE DEBEN CONTINUAR EN UNA PROGRESIÓN OBLIGATORIA PARA QUE EL SOL LE PUEDA DAR O TOCAR A CADA UNA DE ELLAS, DE OTRO MODO NUNCA LE DARÍA EL SOL A MUCHAS DE ELLAS. LAS FUNCIONES SIRVEN PARA PODER ANALIZAR Y ESCRIBIR FINALMENTE LA GRÁFICA DE UNA CURVA CUALQUIERA Y PODER ESCRIBIR UNA ECUACIÓN QUE LA DETERMINE. EN FIN, EL CÁLCULO HA FACILITADO EL APRENDIZAJE MOSTRANDO UN CAMINO BIEN CORTO Y SIMPLE DEL PORQUÉ DE LAS COSAS

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    Re: Desarrollo del Cálculo

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